DIsequazione esponenziale.

(√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x ≤ 2;

Proviamo a moltiplicare tutti i termini per (√2 + 1)^x ;

[(√2 - 1)^x]*[(√2 + 1)^x]+[(√2 + 1)^x]*[(√2 + 1)^x] ≤ 2*(√2 + 1)^x;

differenza di quadrati: (a + b) (a - b) = a^2 - b^2;

[(√2 - 1)^x]*[(√2 + 1)^x] = [(√2 - 1)*(√2 + 1)]^x = (2 - 1)^x;

quadrato di binomio (a + b) (a + b) = (a + b)^2;

[(√2 + 1)^x]*[(√2 + 1)^x] = [(√2 + 1)^2]^x = (√2 + 1)^2x.

La disequazione diventa:

(2 - 1)^x + (√2 + 1)^(2x) ≤ 2 * (√2 + 1)^x;

1^x + (√2 + 1)^(2x) ≤ 2 * (√2 + 1)^x;      1^x = 1;

(√2 + 1)^(2x) - 2 * (√2 + 1)^x + 1 ≤ 0;

chiamiamo (√2 + 1)^x = y;  (√2 + 1)^(2x) = y^2;

y^2 - 2y + 1 = 0;

y = +1 +- radice(1 - 1);

y = 1;

(√2 + 1)^x = 1;  x = 0;  perché:

ln(√2 + 1)^x = ln(1);

il logaritmo di 1 in qualsiasi base è 0.

Solo per x = 0 è soddisfatta le disequazione

(√2 - 1)^0 + (√2 + 1)^0 ≤ 2

1 + 1 ≤ 2; 1 + 1 = 2.

Per x ≠ 0,  (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x > 2. 

Ciao @alby

Questo lo avevo già svolto ma lo rifaccio volentieri.

Osservando che (rad(2) + 1)*(rad(2) - 1) = 2 - 1 = 1

posto (rad(2) + 1)^x = t, t > 0, sarà pure (rad(2) - 1)^x = 1/t

t + 1/t <= 2

ed essendo t positivo

t^2 + 1 - 2t <= 0

(t - 1)^2 = 0   ( un quadrato non può essere negativo

t = 1

ovvero (rad(2) + 1)^x = 1 = (rad(2) + 1)^0

x = 0

Osservo che:

1/(√2 - 1) = √2 + 1

Quindi nella disequazione data: (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x ≤ 2

pongo:

(√2 - 1)^x = t e quindi: (√2 + 1)^x = (1/(√2 - 1))^x = t ^(-1)

Risolvo:

t + t^(-1) - 2 ≤ 0---> (t - 1)^2/t ≤ 0

equivalente a: (t - 1)^2 ≤ 0

soluzione: t = 1

(√2 - 1)^x = 1---> x = 0