Disequazione Di secondo grado dubbio

La prima equivale a 16x^2-24x+9>=0 (4x-3)^2>=0; è sempre verificata (un quadrato è sempre positivo) incluso il caso in cui si annulla 4x-3 (cioè x=3/4). La seconda equivale a x^2-22x+12 <=0 (x-11)^2<=0; è verificata SOLO quando si annulla x-11 (cioè x=11) in quanto poi il quadrato non potra essere negativo.

-16x^2 - 9 +24x  ≤ 0

Cambio segno e verso alla disequazione:

16x^2 - 24x  + 9  ≥  0

rappresenta un quadrato di binomio:

(4x - 9)^2  ≥  0   --> ∀ x ∈ R

Una proprietà fondamentale degli esponenti pari è che qualsiasi numero reale elevato al quadrato è sempre maggiore o uguale a zero. Pertanto,(4x−3)^2 rappresenta il quadrato di un'espressione, il che significa che il suo valore è sempre non negativo.

Infatti, qualsiasi numero reale elevato al quadrato sarà maggiore o uguale a zero. 

Quindi, indipendentemente dal valore di $x$ appartenente ai reali, (4x−3)^2 sarà sempre maggiore o uguale a zero.

x^2 -22x + 121 ≤ 0

(x -11)^2 ≤ 0    --> x = 11

Questo perché il quadrato di un numero reale non può mai essere negativo, eccetto quando il numero stesso è zero.

Quando $x=11$, l'equazione diventa:

(11−11)^2=0^2=0

In questo caso, abbiamo un esempio in cui la disuguaglianza è verificata perché il quadrato di zero è zero stesso. Ma è importante notare che questo è l'unico valore di $x$ per cui la disuguaglianza è soddisfatta.

Credo che il tuo libro non abbia uno specchietto riassuntivo sulla procedura con cui trattare le dis/equazioni razionali intere, ma si rimedia facilmente.
------------------------------
Sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare, commutare, ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore e, se questo è negativo, rovesciare il verso dell'eventuale diseguaglianza d'ordine.
Dalla forma ottenuta (polinomio monico, operatore di dis/eguaglianza, zero), secondo il grado del polinomio, si localizzano gli zeri del polinomio e si marca il segno degl'intervalli in cui essi partizionano l'asse della variabile.
Per il grado due, quello dei tuoi due esempi, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha i segni come nella seguente distinzione di casi.
* Δ < 0: T(x) > 0 ∀ x ∈ R
* Δ = 0: T(x) > 0 ∀ x ∈ R\{s/2}, T(s/2) = 0
* Δ > 0: T(x) > 0 ∀ x ∈ {(- ∞, X1] ∪ [X2, ∞)}, T(x) < 0 ∀ x ∈ [X1, X2], T(X1) = T(X2) = 0
------------------------------
ESEMPI
---------------
1) - 16*x^2 - 9 + 24*x <= 0 ≡ T(x) = x^2 - (3/2)*x + 9/16 >= 0
ha Δ = 0 e quindi è vera ovunque (la diseguaglianza è lasca).
---------------
2) x*(x - 22) + 121 <= 0 ≡ T(x) = x^2 - 22*x + 121 <= 0
ha Δ = 0 e quindi è vera solo per x = s/2 = 22/2 = 11.
---------------
La differenza è nel verso della diseguaglianza lasca: T(s/2) = 0 è vera in entrambi i casi.
Nel caso ">=" va a chiudere il buco di "R\{s/2}" in cui è vera "> 0".
Nel caso "<=" è l'unica verità, in quanto T(x) < 0 solo se Δ > 0: con Δ = 0 è falsa ovunque.