Disequazione

(4·x^4 - 13·x^2 - 75)/(x^4 - 5·x^2 + 4) ≥ 0

N(x) = 4·x^4 - 13·x^2 - 75 = (x^2 + 3)·(4·x^2 - 25)

D(x)= x^4 - 5·x^2 + 4 = (x^2 - 1)·(x^2 - 4)

essendo: x^2 + 3 > 0 per ogni valore reale di x, la disequazione assegnata è equivalente a scrivere:

(4·x^2 - 25)/((x^2 - 1)·(x^2 - 4)) ≥ 0

Quindi studi il segno di 3 fattori (dovresti saper risolvere disequazioni di 2° grado)

4·x^2 - 25 ≥ 0----> x ≤ - 5/2 ∨ x ≥ 5/2 (valori interni con <0)

x^2 - 1 > 0---> x < -1 ∨ x > 1 (valori interni con <0)

x^2 - 4 > 0----> x < -2 ∨ x > 2  (valori interni per <0)

+++[-5/2]--------------------------[5/2]++++>x

++++++++(-2)--------------(2)+++++++++>x

++++++++++++(-1)--(1)++++++++++++>

Segno rapporto:

+++[-5/2]--(-2)++(-1)--(1)++(2)--[5/2]+++>x

Si vuole un rapporto NON NEGATIVO, soluzione:

1 < x < 2 ∨ -2 < x < -1 ∨ x ≤ - 5/2 ∨ x ≥ 5/2

Vediamo di fattorizzare il numeratore e il denominatore per poi costruire la griglia dei segni.

a. Numeratore    

$ 4x^4-13x^2-75 ;$    poniamo   $t = x^2$

$ 4t^2-13t-75 $ 

$ (t+3)(4t-25) $;    ritornando alla variabile originaria

$ (x^2+3)(4x^2-25) $

nota: il termine $ (x^2+3)$ è positivo per ogni valore di x quindi ininfluente sul segno della disequazione.

b.  Denominatore

$ x^4-5x^2+4$;     poniamo   $t = x^2$

$ t^2-5t+4$ 

$ (t-1)(t-4) $;      ovvero

$ (x^2-1)(x^2-4) $

griglia dei segni

___-5/2____-2___-1____1____2___5/2___

+++0------------------------------------0++++   (4x² - 25)

++++++++++++X------X++++++++++++   (x²-1)

++++++++X--------------------X++++++++  (x²-4)

+++0-------X++++X-----X+++X------0++++   disequazione

La disequazione è verificata in (-∞, -5/2] U (-2, -1) U (1, 2) U [5/2, +∞)