[Risolto] Disequazione

Il sistema di disequazioni sembra essere, nel suo insieme, alquanto complesso. Lo spezzeremo in tante parti in modo che ogni singola parte rappresenti un problema gestibile.

a. Dividiamo il sistema in due disequazioni separate. Se indichiamo con S₁ l'insieme delle soluzioni della prima disequazione e con S₂ l'insieme delle soluzioni della seconda. L'insieme S delle soluzioni del sistema si ottiene intersecando tra loro S₁ e S₂.

S = S₁ ∩ S₂

come vedremo in seguito

S₁ = (-∞, -1/4]

S₂ = [-2, -3/2) U (0, +∞)

per cui

S = [-2, -3/2)

.

b. Soluzioni S₁

Spezziamo la disequazione in due parti, il denominatore e il numeratore.

b.1 Denominatore.

Si tratta di un trinomio che assume, per ogni x reale, solo valori positivi (discriminante Δ = -35). La disequazione si riduce a trovare le soluzioni del numeratore ≥ 0.

b.2 Numeratore.

Siamo di fronte a una disequazione irrazionale che ammette come soluzioni le soluzioni del sistema composta da tre semplici disequazioni (abbiamo così spezzato il problema in tre parti)

$ \left\{\begin{aligned} 2 - x & \ge 0 \\ 1-2x & \ge 0 \\ 2-x & \le (1-2x)^2 \end{aligned} \right. $

dalla quale si ricava

S₁ = (-∞, -1/4]  

.

c. Soluzioni S₂

Spezziamo la disequazione in due parti, il denominatore e il numeratore.

c.1 Denominatore.

Si tratta di un'altra disequazione irrazionale. 

Spezziamola in due parti, soluzioni negative e soluzioni positive

c.1.1 Soluzioni negative

$  \sqrt{x+2} < -(x+7) $

Si tratta di risolvere il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x+2 &\ge 0 \\ x+7 &\le 0 \\ x+2 &\le (-(x+7))^2 \end{aligned} \right. $

Che non ammette soluzioni.

nota. Il trinomio x²+13x+47 che si ottiene dall'ultima disequazione è positivo per ogni x reale (Δ = -17)

c.1.2 Soluzioni positive

$  x+7 > -\sqrt{x+2} $

Si tratta di risolvere il sistema

$ \left\{\begin{aligned} x+2 &\ge 0 \\ x+7 &\gt 0 \\ x+2 &\lt (x+7))^2 \end{aligned} \right. $

Che ammette come soluzioni S₂.₁ = [-2, +∞)

b.2 Numeratore.

Essendo il denominatore positivo per verificare la disequazione è necessario che il numeratore sia negativo.

$ 3 < |4x+3| $

Le cui soluzioni sono S₂.₂ = (-∞, -3/2) U (0, +∞)

L'insieme delle soluzioni della seconda disequazione è dato dall'intersezione dei precedenti risultati

S₂ = S₂.₁ ∩ S₂.₂ = [-2, -3/2) U (0, +∞)