[Risolto] Disegno e svolgimento

Ciao!

Ricordiamo che il campo elettrico dei fili è $ E = \frac{| \lambda |}{2 \pi \varepsilon_0 r} $

Nel caso in cui la carica è negativa, il campo è diretto verso il filo stesso, se la carica è positiva il campo è diretto dal filo verso l'esterno. 

Possiamo provare a disegnarlo così:

Quindi al centro si ha che una carica è "tirata" verso sinistra dal filo 1 e verso destra dal filo 2, quindi lì potrebbe esserci equilibrio se le forze con cui "tirano" la carica si bilanciano. 
Nelle parti esterne, invece, entrambe le forze generate dai fili vanno dalla stessa parte, quindi non potrebbero bilanciarsi tra loro!

Usiamo sempre il disegno per dare un segno ai vettori di campo elettrico: se la "freccia" va verso destra daremo segno "+", altrimenti segno "-". 

Il campo dato dal filo 1 è $E_1 = - \frac{\lambda_1}{2 \pi \varepsilon_0 \frac{d}{2}} $

mentre il filo 2 è  $E_2 = + \frac{\lambda_2}{2 \pi \varepsilon_0 \frac{d}{2}} $

quindi: 

$E_{tot} = E_1 +E_2 = - \frac{\lambda_1}{2 \pi \varepsilon_0 \frac{d}{2}}+ \frac{\lambda_2}{2 \pi \varepsilon_0 \frac{d}{2}}$ 

dato che $ \frac{1}{2 \pi \varepsilon_0} = 2k = 18 \cdot 10^9 $ quindi

$ E_{tot} = \frac{2k}{1.5} (-\lambda_1 +\lambda_2) = 96 \cdot 10^5  \ N/C = 9.6 \cdot 10^6 \ N/C $
In direzione ortogonale al filo (come sempre per quanto riguarda un campo generato da un filo) e diretto dal filo 1 al filo 2 (perché il risultato ci viene positivo. attenzione $\lambda$ deve essere preso in modulo, il segno ci serve soltanto per vedere se il campo è diretto verso il filo o no, ma nei "conti" va trascurato). 

Determiniamo la posizione di equilibrio di una carica $+q$. Come abbiamo visto prima, deve stare all'interno dei due fili. 
La forza che sente la carica è: $F = q \cdot E $, diretta come erano diretti i campi (perché $q$ è positiva quindi non ci farà cambiare i segni nel disegno). 

La distanza tra i due fili possiamo suddividerla in due pezzi: dal filo 1 fino a $q$, che chiamiamo $x$, e dalla carica $q$ al filo 2, che sarà ovviamente $3-x$. 

Quindi: 

$F_1 = F_2 $ per avere equilibrio tra le forze

$ q E_1 = q E_2 $ ma le cariche si semplificano

$E_1 = E_2 $

$2k \frac{\lambda_1}{x} = 2k \frac{\lambda_2}{3-x} $

semplifichiamo $2k$

\frac{\lambda_1}{x} = \frac{\lambda_2}{3-x} 

Facciamo il minimo comune multiplo e liberiamoci del denominatore:

$\lambda_1 (3-x) = \lambda_2 x $

$\lambda_1 \cdot 3 - \lambda_1 x = \lambda_2 x $

$\lambda_1 x +\lambda_2 x = \lambda_1 \cdot  3$

$x  ( \lambda_1+\lambda_2) = \lambda_1 \cdot 3$

$x = \frac{\lambda_1 \cdot 3}{\lambda_1+\lambda_2} $

quindi

$ x= \frac{3.9 \cdot 10^{-4}}{10.6 \cdot 10^{-4}} = 0.37 \ m $

cioè $37 \ cm $, e dato che $x$ l'abbiamo calcolato partendo dal filo 1, dobbiamo posizionare la carica $37 \ cm$ a partire dal filo 1.