[Risolto] disequazuoni esponenziali utilizzando un’incognita ausiliaria numero 310

Riscriviamo la disequazione nella forma

$ \frac{\frac{1}{2^x} -4}{(9-9^x} = \frac{4 \cdot 2^x -1}{2^x(9^x-9)} = \frac{ 2^{x+2} -2^0}{2^x(9^x-9)} =  \lt 0 $

Per essere negativo i segni del numeratore e del denominatore devono essere dicordi. Osserviamo che il termine $2^x$ presente al denominatore, essendo positivo, non ha alcuna influenza sul segno dello stesso. Possiamo, per maggior chiarezza, trascurarlo.

Segni discordi. Occorre considerare due casi

1. Denominatore positivo, numeratore negativo. 
   1. 1. $9^x - 9 \gt 0 \; ⇒ x \; \gt 0$
      2. $ 2^{x+2} - 2^0 \lt 0 \; ⇒ \; x + 2 \; \lt 0  \; ⇒ \; x  \lt -2 $
         1. 1. Nessuna soluzione.
2. Denominatore negativo, numeratore positivo.
   1. 1. $9^x - 9 \lt 0 \; ⇒ x \; \lt 0$
      2. $ 2^{x+2} - 2^0 \gt 0 \; ⇒ \; x + 2 \; \gt 0  \; ⇒ \; x  \gt -2 $
         1. 1. Soluzione.  $-2 \lt x \lt 0 $