[Risolto] Disequazioni di secondo grado

Ma che testo orribile!
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1) Presenta una famiglia di EQUAZIONI razionali di grado QUATTRO
* "2x^4+(-k^2-6k-9)x^2-k^4+9k^2-3k^3+27k=0" ≡
≡ p(x, k) = x^4 - ((k + 3)^2/2)*x^2 - (k - 3)*k*(k + 3)^2/2 = 0
sotto il titolo "DISEQUAZIONI di SECONDO grado".
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2) Chiede di determinare "l'unico valore intero che ..." dando per scontato che quel valore esista e sia unico, ma guardandosi bene dall'asserirlo in modo da costituire un dato.
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3) A me, leggere "il massimo numero di soluzioni tutte distinte", fa raggricciare la pelle.
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Provo a risolvere un testo lievemente riformulato.
Determinare, se esiste, un valore intero del parametro k per cui
* p(x, k) = x^4 - ((k + 3)^2/2)*x^2 - (k - 3)*k*(k + 3)^2/2 = 0
abbia quante più radici distinte sia possibile.
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La biquadratica p(x, k) = 0 ha, per il teorema fondamentale dell'algebra, esattamente quattro radici
* x ∈ {± √((k + 3)*k), ± √((9 - k^2)/2)}
tutt'e quattro reali per
* ((k + 3)*k >= 0) & ((9 - k^2)/2 >= 0) ≡ (k = - 3) oppure (0 <= k <= 3)
e tutt'e quattro reali e non nulle per
* ((k + 3)*k > 0) & ((9 - k^2)/2 > 0) ≡ 0 < k < 3
intervallo nel quale cadono due valori interi.
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* p(x, 1) = x^4 - 8*x^2 + 16 = ((x + 2)*(x - 2))^2 = 0 ≡ x = ± 2
* p(x, 2) = x^4 - (25/2)*x^2 + 25 = (x^2 - 5/2)*(x^2 - 10) = 0 ≡ x ∈ {± √(5/2), ± √10}
quindi il valore richiesto esiste, è DUE ed è unico.
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DETTAGLI: calcolo delle radici.
Con
* u = x^2
si ha
* x = ± √u
* x^4 - ((k + 3)^2/2)*x^2 - (k - 3)*k*(k + 3)^2/2 = 0 ≡
≡ u^2 - ((k + 3)^2/2)*u - (k - 3)*k*(k + 3)^2/2 = 0 ≡
≡ u^2 - s*u + p = u^2 - s*u + p = (u - U1)*(u - U2) = 0
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Con
* s = (k + 3)^2/2
* p = - (k - 3)*k*(k + 3)^2/2
si ha
* Δ(k) = s^2 − 4*p = ((3/2)*(k + 3)*(k - 1))^2
* U1 = (s - √Δ)/2 = (9 - k^2)/2
* U2 = (s + √Δ)/2 = k^2 + 3*k

2·x^4 + (- k^2 - 6·k - 9)·x^2 - k^4 + 9·k^2 - 3·k^3 + 27·k = 0

equazione trinomia 

del tipo a·x^(2·n) + b·x^n + c = 0 con n=2

ove:

a = 2; b = - k^2 - 6·k - 9; c = - k^4 + 9·k^2 - 3·k^3 + 27·k

Ha quindi al massimo 4 soluzioni che si ottengono ponendo x^2=t:

at^2+bt+c=0

Continuo più tardi perché devo uscire...