[Risolto] Discuti la funzione al variare del parametro

Credo che l'equazione a cui tu fai riferimento sia:

2/3·√(4·x - x^2) = x + k

e che tu stia cercando il numero delle intersezioni delle due funzioni:

f=2/3·√(4·x - x^2)  e  g=x + k

al variare del parametro k.

In ogni caso devi imparare a scrivere senza possibilità di equivocare cara @_beaa_

P.S. al mio amico @exprof   : Non me l'ha detto l'arcangelo Gabriele!

Vedo di proseguire in virtù del commento (18:24) che hai fatto e che conferma quanto io pensassi.

La semiconica come dici è una semiellisse:

Per k=0.4 circa hai il punto di tangenza

Per k: 0 ≤ k ≤ 0.4 hai 2 intersezioni

Per k: -4<= k <0 hai una sola intersezione

Per valori diversi nessuna intersezione.

Avrei potuto farlo se solo tu avessi scritto "la funzione" anziché "il pastrocchio".
LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
E' UN VERO PECCATO CHE AL LICEO NON S'INSEGNINO PIU'
* L'USO CORRETTO DELLE PARENTESI (d'ogni tipo: [], {}, <>, ||)
* LA CORRETTA SINTASSI DELLE ESPRESSIONI
La tua scrittura originale (la stringa "2/3√4x-x²=x+k") è illeggibile come espressione algebrica.
Sui libri le espressioni si stampano in due dimensioni, ma su una tastiera si scrivono in linea: le espressioni algebriche non sono disegnini e per scriverle in linea con un editor di testo ci sono convenzioni che risalgono al 1958.
Secondo le normali regole e convenzioni algebriche [che impongono di porre parentesi (tutte tonde) intorno agli argomenti delle funzioni (comprese le frazioni) quando si scrivono le espressioni in linea con normali caratteri dattilografici] la tua scrittura va tutta rifatta.
Il primo passaggio della discussione richiesta è il riscrivere l'espressione in linea invece della scrittura fantasiosa.
Per scrivere in linea le espressioni, ti suggerisco:
* parentesi tonde ovunque;
* il prodotto esplicito con un normale asterisco "*" per moltiplicare: A*B;
* "/" per dividere e per frazione: frazioni e divisioni con (tutta il numeratore)/(tutto il denominatore);
* le potenze con (tutta la base)^(tutto l'esponente);
* notazione funzionale quando mancano segni speciali: √(radicando) o sqrt(radicando); ∫ f(x)*dx o integrale(f(x)*dx); ecc.
------------------------------
Ti dò qualche esempio di possibili legittime interpretazioni della tua stringa, tali da renderla espressione.
1) (2/(3*√4))*x - x^2 = x + k
2) 2/(3*√4*x) - x^2 = x + k
3) 2/(3*√4*x - x^2) = x + k
4) 2/(3*√(4*x - x^2)) = x + k
5) ((2/3)*√4)*x - x^2 = x + k
...) e così via.
------------------------------
Circa "sono riuscita a trovare i punti di tangenza, ma non riesco a trovare gli altri punti per cui passa la retta" oltre all'ovvia esclamazione "eeehhh????" ti faccio notare che se hai bisogno di una risposta ragionevole devi pubblicare un problema "ben posto" (come si spera che sia il testo del problema originale preso dal libro): DEVI COPIARE L'ESERCIZIO CARATTERE PER CARATTERE. Se il testo è opera tua che hai sforbiciato qua e là, allora devi renderti conto che hai pubblicato il riassunto fatto da una persona che non soltanto non è riuscita a risolvere il problema, ma nemmeno a capire quali fossero le informazioni indispensabili alla risoluzione!