[Risolto] Discuti la disequazione (2 a-3) x-a>a al variare del parametro a

DISCUTO, al variare del parametro a ∈ R, la disequazione
* (2*a - 3)*x - a > a ≡
≡ (2*a - 3)*x > 2*a
che presenta due soli casi particolari
* per a = 0: (2*0 - 3)*x > 2*0 ≡ - 3*x > 0 ≡ x < 0
* per a = 3/2: (2*3/2 - 3)*x > 2*3/2 ≡ 0 > 3 ≡ Falso
e il caso generico
* (a != 3/2) & (x > 1/(1 - 3/(2*a)))
quindi
* per a < 3/2: x < 1/(1 - 3/(2*a))
* per a = 3/2: ∄ x ∈ R
* per a > 3/2: x > 1/(1 - 3/(2*a))
ma anche
* per x < 1: a < (3/2)*x/(x - 1)
* per x = 1: ∄ a ∈ R
* per x < 1: a > (3/2)*x/(x - 1)
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RISPONDO ai quesiti
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a. Per quale valore di a le soluzioni della disequazione sono rappresentate da x < 1/4?
* per a < 3/2: x < 1/(1 - 3/(2*a)) = 1/4 ≡ a = - 1/2
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b. Esiste un valore di a per cui la disequazione è verificata per qualsiasi valore di x?
* per x = 1: ∄ a ∈ R
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c. Trova per quale valore di a la disequazione è equivalente a |x + 1| > √(x*|x - 1|).
* per x = 0: (2*a - 3)*0 > 2*a ≡ a < 0
* per a > 3/2: x > 1/(1 - 3/(2*a)) = 0 ≡ impossibile
quindi
* |x + 1| > √(x*|x - 1|) ≡ x >= 0 ≡
≡ (x = 0) oppure (x > 0) ≡
≡ (a < 0) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ a < 0
ESEMPIO
* per a < 0 < 3/2: x < 1/(1 - 3/(2*a))
* per a = - 5: x < 1/(1 - 3/(2*(- 5))) = 10/13 = 0.(769230)
* per x = 7/10 < 10/13: |7/10 + 1| > √((7/10)*|7/10 - 1|) ≡
≡ 17/10 > √(21/100) ≡
≡ 17 > √21 ~= 4.58 ≡ Vero
e il controesempio dovrebbe bastare a confutare il risultato atteso "∄ a ∈ R".

Domanda A) 

Se a=3/2  => impossibile

Se a>3/2 => S={ x> 2a/(2a-3) }

Se a<3/2 => S={ x<  2a/(2a-3)}

Domanda B)

2a/(2a-3) = 1/4

a= - 1/2

Domanda C) 

Insieme di definizione in R: x>=0

Il modulo a sinistra si può togliere 

(x+1)>radice (x*|x-1|)

Dallo studio del segno del modulo la disequazione risulta sempre verificata. Quindi non esistono valori del parametro a /le due disequazioni abbiano lo stesso insieme di soluzioni