[Risolto] Discussione parametro

(a - 2)·x^2 - 2·x + 1 ≥ 0

L'equazione associata (a - 2)·x^2 - 2·x + 1 = 0

ammette un discriminante:

Δ/4 = (-1)^2 - (a - 2)·1 = 3 - a

quindi radici:

α = (1 - √(3 - a))/(a - 2)

β = (1 + √(3 - a))/(a - 2)

Detto ciò passiamo alla discussione.

Se a - 2 = 0----> a = 2

passiamo ad una disequazione lineare numerica: - 2·x + 1 ≥ 0

che ha soluzione x ≤ 1/2

Per valori diversi di a abbiamo la possibilità di avere valori interni alle due radici o valori esterni alle due radici quando si verificano le due circostanze:

{a < 2

{3 - a ≥ 0

quindi valori interni se:[a < 2] per cui si avrà:

α = (1 - √(3 - a))/(a - 2) ≤ x ≤ β = (1 + √(3 - a))/(a - 2)

{a > 2

{3 - a > 0

quindi valori esterni alle due radici se [2 < a < 3] per cui si avrà:

x ≤ α = (1 - √(3 - a))/(a - 2) ∨ x ≥ β = (1 + √(3 - a))/(a - 2)

Per  a=3 si hanno due radici reali e coincidenti

α = β = 1 

e quindi per tale valore soddisfano la disequazione proposta.

Per  a > 3 l'equazione associata  è impossibile perché il discriminante è negativo, ma la disequazione è sempre soddisfatta

Quindi per a ≥ 3 sempre soddisfatta