[Risolto] Dinamica Rotazionale

Sul bordo di una ruota di raggio r =1,0 m e massa M = 8,0 Kg sta dormendo un gattino di massa m =2,0 Kg. Il sistema è inizialmente in quiete. La ruota è libera di ruotare senza attrito attorno al suo asse centrale. Ad un certo istante, il gattino si sveglia e compie un balzo tangenzialmente al bordo del disco con una velocità V= 2,0 m/s.

1 Calcola il momento di inerzia J della ruota.

J = m/2*r^2 = 4*1^2 = 4,0 kg*m^2

2 Ricava l'energia cinetica rotazionale della ruota dopo che il gattino ha saltato.

momento angolare L = m*V*r = 2*2*1 = 4 kg*m^2/sec = J*ω

velocità angolare ω = L/J = 4/4 = 1,00 rad/sec 

Ek = J/2*ω^2 = 2*1 = 2,0 J 

3 Per frenare il disco viene applicata una forza di momento costante Mf=1,0 Nm. In quanto tempo si ferma il disco, trascurando l'attrito dell'aria?

tempo t = J*ω/Mf = 4*1/1 = 4,0 s 

4 Calcola il lavoro necessario per fermare la ruota.

L = Ek = 2,0 J 

Momento di inerzia rispetto asse centrale 

I=M*R²/2 = (1/2)*8*1² = 4 kg*m²

B) 

Conservazione del momento angolare: essendo nulla la risultante dei momenti delle forze esterne => L= costante 

Il momento angolare è definito come 

L=r x mv

Il gatto ha velocità tangenziale perpendicolare al raggio vettore (angolo 90°) => Lgatto = R*m_gatto*v

L_ini = 0 (tutto fermo) 

L_fine = I*w - R*m_gatto * v

Uguagliando i due momenti si ricava:

w=R*m_gatto *v/I = (2*1*2)/4 = 1 rad/s

L'energia cinetica rotazionale è 

E=(1/2)*I*w² = 2 J

C) 

Dalla dinamica rotazionale 

Mf = I*alfa = I*(wf - wi) /dt

Da cui si ricava il tempo (wf=0)

t= I*wi/Mf = (4*1)/1 = 4 s

D) 

Il lavoro compiuto dalle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica del sistema. In questo caso la variazione coincide con la variazione di energia cinetica rotazionale

L= - 2J

1) Il momento di inerzia della sola ruota é Iw = 1/2 M R^2 = 1/2 * 8 * 1^2 kg m^2 = 4 Kg m^2

2) Il momento angolare iniziale é (Iw + Ic) wi = 0

essendo la ruota ferma con il gattino sopra.

Poiché esso si conserva deve essere

0 = Iw wf + m R^2 * v/R

wf = - m v R/Iw = - m v R / (1/2 M R^2) = - 2 m v/(M R)

Ecf = 1/2 Iw * (2 m v/(M R))^2 = 1/2 * 1/2 M R^2 * 4 m^2 v^2/(M^2 R^2) =

= m^2 v^2/M = 4/8 * 2^2 J = 2 J

3) w(t) = wf - alfa t      con Iw alfa = M =>  alfa = M/Iw

wf - M/Iw * T = 0 =>  T = Iw wf/M = 4 *(2*2*2)/(8 * 1) s = 4 s

4) 2 J  come in 2)