Dinamica - problema 6

Il testo non specifica se il corpo scende scivolando lungo il piano, oppure rotolando lungo lo scivolo. Nel dubbio ho svolto entrambi i casi, Nel primo caso ho considerato un corpo a forma di cubo, nel secondo caso il corpo è un cilindro pieno.

Questo è il testo

Sia dato un piano inclinato di 45 gradi, lungo 2 metri e privo di attrito sulla cui sommità poggia una massa di 500g. Determina l'accelerazione con cui scende il corpo, il tempo che impiega a scendere e la velocità con cui arriva alla fine del piano inclinato.

Nell'ipotesi a) che il corpo di forma cubica scivoli e

b) che il corpo avente forma di un cilindro pieno rotoli

1. Calcolo dell'accelerazione
* Forze in gioco: L'unica forza che agisce sul corpo è la forza di gravità, che può essere scomposta in due componenti: una parallela al piano inclinato (responsabile del moto) e una perpendicolare al piano (che viene bilanciata dalla reazione del piano).
* Componente parallela: La componente parallela della forza di gravità è data da:
* F_parallela = m * g * sin(θ)
* Dove:
* m è la massa del corpo (0.5 kg)
* g è l'accelerazione di gravità (9.8 m/s²)
* θ è l'angolo di inclinazione (45°)
* Accelerazione: L'accelerazione del corpo lungo il piano inclinato è data da:
* a = g * sin(θ)
* a = 9.8 m/s² * sin(45°) ≈ 6.93 m/s²
2. Calcolo del tempo di discesa
* Moto uniformemente accelerato: Il moto del corpo lungo il piano inclinato è un moto rettilineo uniformemente accelerato.
* Equazione del moto: Possiamo usare l'equazione del moto:
* s = 1/2 * a * t²
* Dove:
* s è la lunghezza del piano inclinato (2 m)
* a è l'accelerazione (6.93 m/s²)
* t è il tempo di discesa
* Risoluzione per t: Risolvendo l'equazione per t, otteniamo:
* t = √(2 * s / a)
* t = √(2 * 2 m / 6.93 m/s²) ≈ 0.76 s
3. Calcolo della velocità finale
* Equazione della velocità: Possiamo usare l'equazione della velocità per un moto uniformemente accelerato:
* v = a * t
* Dove:
* v è la velocità finale
* a è l'accelerazione (6.93 m/s²)
* t è il tempo di discesa (0.76 s)
* Calcolo della velocità:
* v = 6.93 m/s² * 0.76 s ≈ 5.27 m/s
Risultati
* L'accelerazione del corpo è di circa 6.93 m/s².
* Il tempo di discesa è di circa 0.76 secondi.
* La velocità finale del corpo è di circa 5.27 m/s.

Sia dato un piano inclinato di 45 gradi, lungo 2 metri e privo di attrito sulla cui sommità poggia una massa di 500 g. Determina l'accelerazione con cui scende il corpo, il tempo che impiega a scendere e la velocità con cui arriva alla fine del piano inclinato. 

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Massa $\small m= 500\,g→= 0,5\,kg; quindi:

accelerazione $\small a= \dfrac{F}{m} = \dfrac{\cancel{m}·g·sen(\alpha)}{\cancel{m}} = 9,80665×sen(45°) = 6,934\,m/s^2; $ (la massa come vedi non serve);

tempo $\small \sqrt{2×\dfrac{l}{g·sen(\alpha)}} = \sqrt{2×\dfrac{2}{9,80665×sen(45°)}} = 0,7595\,s;$

velocità finale $\small v= a·t = 6,934×0,7595 = 5,266\,m/s.$