[Risolto] Dinamica del corpo rigido

Il momento angolare del sistema in moto , I w, si conserva

1/2 * 6 m * R^2 w = ( 1/2 * 6 m * R^2 + m d^2 ) w' 

w' = w * 3R^2 /(3R^2 + d^2)

dEc = 1/2 If w'^2 - 1/2 I w^2 

Ora If w' = I w =>   w' = I/If  w 

dEc = 1/2 * (If * I^2/If^2 w^2 - I w^2 ) = 

= I w^2/2 * (I/If - 1) 

Una giostra, assimilabile a un disco omogeneo di raggio r e massa 6*m, ruota con velocità angolare ωg . Un bambino di massa m, inizialmente a terra, salta sulla giostra. La sua velocità ha modulo V e verso coincidente con quello della velocita tangenziale della giostra nel punto in cui il bambino atterra, che si trova ad una distanza d < r dal centro.
Calcolare la velocità angolare ω finale della giostra e la variazione di energia cinetica ΔEk del sistema. 

si applica la conservazione del momento angolare (L = Lb+Lg):

L = Lg+Lb = Ig*ωg + Ib*ωb in kg*m^2/s

....ma andiamo per ordine :

Ig = 6m/2*r^2

Lg = Ig*ωg = 3m*r^2*ωg

Ib = m*d^2

ωb = ωg  ( velocità tangenziale Vb = Vg*d/r, come dire pari velocità angolare)

Lb = Ib*ωg = m*d^2*ωg

L = Lg+Lb = m*ωg(3r^2+d^2)

I = Ig+Ib = m(3r^2+d^2)

ω = L/I = ωg(3r^2+d^2)/(3r^2+d^2) = ωg

...-la velocità angolare resta immutata, così come l'energia cinetica 

Si conserva il momento angolare del sistema L = I * ω;

Io = momento d'inerzia della giostra:

Io = 1/2 M R^2;

Lo = Io * ωo = 1/2 (6m) R^2 * ωo = 3 m R^2 ωo ;

ωo = v/R;

Lo = 3 m R^2 ωo;

Sale il bambino con la stessa velocità v , massa m a distanza d,

ω bambino = v /d = ωo * R / d

I1 = Io + m * d^2; il momento d'inerzia aumenta;

I1 = 3 m R^2 + m d^2 

L1 =(Io + m * d^2) * ω1 ;

L1 = 3m R^2 * ω1  + m d^2 * ω1 * R / d;

L1 = Lo;

3m R^2 * ω1 + m d * ω1 * R  = 3 m R^2 ωo ,  m ed R si semplificano;

3 R ω1 + d * ω1  = 3 R ωo ,

ω1 (3R + d) = 3 R ωo;

ω1 = 3 R ωo / (3 R + d);

Energia cinetica iniziale Eco:

Eco = 1/2 Io ωo^2 = 1/2 * (3 m R^2) * ωo^2 ;

Ec1 = 1/2 I1 ω1^2 = 1/2 * (3 m R^2 + m d^2) * [3 R ωo / (3 R + d)]^2 ; energia finale;

Variazione = Ec1 - Eco;

....

@gellonenazionale ciao.