96-Dimostra che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti:
a. l’altezza relativa all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto;
b. un cateto e la bisettrice dell’angolo acuto adiacente.
96-Dimostra che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti:
a. l’altezza relativa all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto;
b. un cateto e la bisettrice dell’angolo acuto adiacente.
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Livello 1
a)
Chiamo D l'estremo della bisettrice dell'angolo retto che si pone in C, l'ipotenusa é AB e H il piede dell'altezza ad essa relativa.
I trangoli rettangoli ( per definizione di altezza ) DCH e D'C'H' sono congruenti per il IV Criterio avendo
CH = C'H' e CD = C'D' ( ipotenusa e cateto ) congruenti per ipotesi.
In qualità di elementi omologhi, gli angoli DCH e D'C'H' sono congruenti e quindi lo sono anche
HCB e H'C'B' che per costruzione sono i loro complementi a 45°.
I loro complementari B' e B saranno quindi congruenti e questo dimostra che A'B'C' e ABC hanno tutti gli angoli ordinatamente congruenti.
Del resto i triangoli HCB e H'C'B' sono congruenti per il secondo criterio in quanto hanno :
CH = C'H' per ipotesi;
H = H' in quanto retti;
HCB = H'C'B' perché osservato prima in quanto differenze di angoli congruenti.
Da qui si deduce B'C' = BC perché sono in essi lati omologhi e ne segue subito la tesi in base al
secondo criterio.
b)
Disegnata la bisettrice AD dell'angolo A con l'angolo retto in C
ACD = A'C'D' per il IV Criterio.
CAD = C'A'D' sono congruenti perché angoli omologhi
DAB = D'A'B' e congruenti ai precedenti perché AD é bisettrice
ADC = A'D'C' perché angoli omologhi
Pertanto, nei triangoli ADB e A'D'B'
DAB = D'A'B' per quanto già detto
AD = A'D' per ipotesi
ADB = A'D'B' perché adiacenti ad angoli congruenti.
Allora si applica il II Criterio e si deduce che AB = A'B' in quanto lati omologhi.
Adesso abbiamo finito : Infatti AC = A'C' per ipotesi e riapplicando il IV Criterio
ad ABC e A'B'C' si arriva alla tesi.
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Livello 7
Ciao PaMax, quando tracci la bisettrice si formano due triangoli: ABL e BLC.
Consideriamo quest'ultimo. L'angolo in C è retto, BL = B'L' per ipotesi e BC=B'C' per ipotesi (avendo scelto come cateto congruente il lato BC). Due triangoli rettangoli che hanno in un cateto e l'ipotenusa congruenti sono congruenti, perciò BLC=B'L'C'.
Quindi arriviamo alla conclusione che l'angolo CBL=C'B'L'. Dal momento però che BL è la bisettrice allora B=B'. A questo punto abbiamo che i due triangoli hanno un lato e i due angoli adiacenti ad esso congruenti e perciò ABC=A'B'C'. Spero che la spiegazione sia chiara.
Ciaoo
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Livello 1
@edoasto Chiedo scusa, ma io ho due dimostrazioni da fare, nella prima la congruenza usando questa ipotesi: l’altezza relativa all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto;