[Risolto] Dimostrazioni

Facciamo riferimento alla figura allegata:

Con riferimento ad essa chiamiamo AB = u e BC = v i due lati consecutivi: dobbiamo dimostrare che la somma dei quadrati costruiti sulle due diagonali è pari al doppio  della somma dei quadrati di due lati consecutivi.

Allo scopo tracciamo da C e da D le altezze del parallelogramma relativamente alla base AB:le chiamiamo:

y = DE = CF

Quindi chiamiamo con x le proiezioni dei lati obliqui sulla base AB:

x = ΑΕ = ΒF

Applichiamo Pitagora al triangolo rettangolo AFC:

AC^2 = (u + x)^2 + y^2

Applichiamo ancora Pitagora al triangolo rettangolo BDE:

BD^2 = (u - x)^2 + y^2

Facciamo quindi la somma membro a membro:

AC^2+BD^2=(u + x)^2 + y^2 + (u - x)^2 + y^2

AC^2+BD^2=2·x^2 + 2·y^2 + 2·u^2 = 2·(x^2 + y^2 + u^2)

ma: x^2 + y^2 = v^2

da cui :

AC^2+BD^2= 2(u^2+v^2)