[Risolto] Dimostrazioni

Si tratta di dimostrazioni costruttive di cui si può anche dire "Verifica che ..." invece di "Dimostra che ...".
Si scrive l'espressione algebrica che traduce la frase, la si semplifica, si confronta col risultato atteso.
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* "numero pari" ≡ 2*k ∀ k ∈ Z
* "numero dispari" ≡ 2*k + 1 ∀ k ∈ Z
* "due numeri dispari consecutivi" ≡ 2*k ± 1 ∀ k ∈ Z
* "tre numeri dispari consecutivi" ≡ {2*k - 1, 2*k + 1, 2*k + 3} ∀ k ∈ Z
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* "somma di tre numeri dispari consecutivi" =
= 2*k - 1 + 2*k + 1 + 2*k + 3 = 3*(2*k + 1)
è multiplo di 3? Hai detto sì? QED.
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* "prodotto di due numeri dispari consecutivi" = (prodotto notevole!)
= (2*k + 1)*(2*k - 1) = (2*k)^2 - 1^2 = 4*k^2 - 1
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* "aggiungendo 1 al prodotto di due numeri dispari consecutivi si ottiene ..."4*k^2 - 1 + 1 = 4*k^2
è multiplo di 4? Hai detto sì? QED.

1) I tre numeri dispari possiamo chiamarli

2n - 1, 2n + 1, 2n + 3.

La loro somma é S = 2n - 1 + 2n + 1 + 2n + 3 = 6n + 3 = 3(2 n + 1)

ed é il triplo del numero centrale;

2) 1 + (2n - 1)(2n + 1) = 1 + 4n^2 - 1 = 4 n^2