La somma $1+2+3+4+5+6$ può essere scritta, utilizzando la proprietà commutativa, come $(1+6)+(2+5)+(3+4)$. In questo modo si ottengono tre addendi tutti uguali tra loro. Il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, usando la precedente osservazione, dimostrò da bambino che, se $n$ è un numero pari, allora:
$$
1+2+\ldots+n=(n+1) \frac{n}{2} .
$$
Dimostra che, se $n$ è multiplo di 4 ma non di 8 , allora $\sqrt{1+2+\ldots+n}$ è un numero irrazionale.