Dimostrazione per induzione

Per n = 0 é vera

2^0 = 1   e 0^3 = 0, 1 > 0

2^1 = 2    e 1^3 = 1   2 > 1

2^2 = 4    2^3 = 8   non é vera

2^3 = 8 e  3^3 = 27 non é vera

2^4 = 16 e  4^3 = 64 non é vera

2^5  = 32 e 5^3 = 125 non é vera

2^6  = 64   e 6^3 = 216 non é vera

2^7 = 128 e 7^3 = 343 non é vera

2^8 = 256 e  8^3 = 512 non é verq

2^9 = 512 e 9^3 = 729 non é vera

2^10 = 1024 e 10^3 = 1000    => 1024 > 1000

Per n = 10 é vera

se vale per il generico n

2^(n+1) = 2*2^n > 2 n^3

per cui se proviamo che  2n^3 > (n + 1)^3

per n >= 10 possiamo usare la proprietà transitiva

n^3 - (3n^2 + 3n + 1) > 0

per n = 10 lo é

e (n + 1)^3 - [3(n + 1)^2 + 3(n + 1) + 1] - n^3 + 3n^2 + 3n + 1 =

= 3n^2 + 3n + 1 - 3n^2 - 6n - 3 - 3n - 3 + 3n^2 + 3n =

= 3n^2 - 3n - 5 

la radice maggiore é   (3 + sqrt(9 + 60))/6 = 1.844

per cui per n > 10

la variazione di 2n^3 - (n + 1)^3 é positiva

e quindi 

2^(n+1) > 2n^3 > (n + 1)^3   per n >=10

\[2^n \geq n^3 \Bigg|_{\substack{n = 1}} \implies 2 \geq 1 \quad \text{passo base verificato}\,\,.\]

Supponendo $2^k \geq k^3$ per un certo $k\in \mathbb{R}\,$, si dimostra

\[2^{k + 1} \geq (k + 1)^3 \implies 2 \cdot 2^k \geq 2 \cdot k^3 \geq k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \iff\]

\[k^3 - 3k^2 - 3k - 1 \geq 0\,.\]

Da tale relazione, utilizzando i prodotti notevoli o altre scomposizioni polinomiali, come il Teorema di Ruffini, ricavi per quale valore di $k\,$, per il Principio di Induzione, si ha tale disuguaglianza.

è falsa per 1,3735 < n < 9,9395

La diseguaglianza
* 2^n >= n^3, per n ∈ N
è falsa per n < 10 (2^9 = 512; 9^3 = 729) ed è vera per n >= 10 (2^10 = 1024; 10^3 = 1000).