Per ogni numero intero positivo $n$, definiamo il fattoriale di $n$ come $n !:=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$, Definiamo anche $0 !:=1$. Dimostrare che, per ogni $n \in \mathbb{N}$, vale $2^{n} \leq n !$
Non riesco a capire quale ipotesi induttiva mi permette di dimostrare questo quesito
39
punti
Livello 0
2^n <= n!
in realtà non vale per ogni n in N perché
2^1 = 2 > 1 = 1!
Eventualmente lo possiamo dimostrare solo per n >= 4.
Passo base
2^4 = 16 < 24 = 4!
Sia ora vero per il generico n
2^n <= n! con n >= 4
passo di induzione
2^(n+1) = 2^n * 2 <= n!* 2 <= n!*(n+1) = (n+1)! (*)
essendo n + 1 > 2.
E abbiamo terminato : La (*) é la tesi.
45525
punti
Livello 7
