Dimostrazione geometria

Guarda la figura che ho disegnato per seguire al meglio la dimostrazione.

Osserva come vale la relazione $\overline{OA} \cong \overline{OC} \cong \overline{OD} \cong \overline{OB}$ perché tutti questi segmenti sono raggi della circonferenza di centro $O$. Tracciando la perpendicolare da $O$ alle rette parallele, questa le interseca nei punti $M$ ed $N$ che sono i punti medi delle basi dei triangoli $EOM \cong MOF$ (congruenti perché la perpendicolare alla base è altezza e mediana di un triangolo isoscele, allora per il primo criterio di congruenza dei triangoli$^{[1]}$ i triangoli in questione sono congruenti) e $ONC \cong OND$ (per lo stesso motivo congruenti). Questo significa che vale anche $\overline{AE} \cong \overline{BF}$ perché $\overline{ME} \cong \overline{MF}$ (i triangoli sono congruenti e $M$ è anche il punto medio della base $\overline{AB}$ del triangolo isoscele $AOB$ per cui i punti $A$ e $B$ sono equidistanti da $M$. L'angolo $\widehat{OEM}$ indicato con $\alpha$ è congruente ad $ \widehat{OFM}$, indicato con $\alpha '$, perché il triangolo è isoscele, gli angoli opposti ai vertici $F$ ed $E$ sono congruenti proprio perché opposti al vertice e si dimostra anche che $\overline{EC} \cong \overline{FD}$ con il teorema di Talete$^{[2]}$, quindi per il secondo criterio di congruenza dei triangoli $^{[3]}$ $AEC \cong  BFD$ e di conseguenza $\overline{AC} \cong \overline{BD}$

$\textit{c.v.d.}$

[1]:

Primo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno due angoli corrispondenti congruenti e il lato tra loro compreso congruente, allora i triangoli sono congruenti 

*Nel nostro caso i triangoli condividono l'altezza $\overline{OM}$ e va da sé che $\overline{OM} \cong \overline{OM}$, dato che l'altezza è anche bisettrice perché $AOB$ è un triangolo isoscele e gli angoli in $M$ sono angoli rette si verificano le condizioni descritte.

[2]:

Teorema di Talete:

Due rette parallele tagliate da due trasversali intercettano segmenti proporzionali lungo le trasversali.

*Nel nostro caso $\overline{OC} \cong \overline{OD}$ perché sono entrambi raggi, ciò significa che anche le altre coppie di segmenti corrispondenti sono nello stesso rapporto, in particolare $\overline{EC}  \cong \overline{FD}$.

[3]:

Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno lati corrispondenti congruenti e l'angolo tra loro compreso congruente, allora i triangoli sono congruenti.

*Nel nostro caso abbiamo appena spiegato che $\overline{EC}  \cong \overline{FD}$ e che $\overline{AE} \cong \overline{BF}$, gli angoli $\beta$ e $\beta '$ sono congruenti perché angoli opposti al vertice di angoli $\alpha \cong \alpha '$, allora si verificano le condizioni descritte.

Se hai dubbi su qualcosa non esitare a rispondere e proverò a chiarirli!

OH è _l_ ad entrambe le corde e pure bisettrice degli angolo AôB e CôD , il che implica AôC = BôD e l'uguaglianza dei triangoli AOC e BOD per aver uguali due lati(raggi) e l'angolo in O compreso