Dimostrazione formula urto elastico unidimensionale

v1' ; v2' ;   sono le velocità dopo l'urto elastico.

Se l’urto è elastico si conservano la quantità di moto e l’energia cinetica.

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ ;

Se l’urto è elastico si deve conservare l’energia cinetica:

1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 1/2 m1 v1’^2 + 1/2 m2 v2’^2;

queste due equazioni si semplificano nel sistema e diventa di primo grado anche la seconda:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  (1)   conservazione quantità di moto;

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′);        (2)  conservazione dell’energia cinetica.

applichiamo quindi queste semplici equazioni di primo grado.

Dimostrazione:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  (1)

1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 1/2 m1 v1’^2 + 1/2 m2 v2’^2;  (2)

semplificando e mettendo i termini con indici uguali dalla stessa parte, diventa:

m1 (v1’^2 – v1^2) = m2 (v2^2 – v2’^2);

svolgendo le differenze di quadrati, diventa:

m1 (v1′ – v1) (v1′ + v1) = m2 (v2 – v2′) (v2 + v2′)

m1 (v1′ – v1)   =   m2 ( v2 – v2′);    dividendo a membro a membro, otteniamo

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′) ;  resta costante la somma delle velocità prima e dopo l’urto (v + v’).

Questa è la condizione di conservazione dell’energia cinetica per un urto elastico, insieme alla conservazione della quantità di moto:

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;  conservazione quantità di moto; (1)

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′); conservazione dell’energia cinetica;  (2)

v1' = v2 + v2' - v1;  dalla  (2);   sostituiamo nella  (1), ricaviamo v2'

m1v1 + m2v2 = m1v2 + m1v2' - m1 v1 + m2v2′; (1)

m1v2' + m2v2′ = m1v1 + m1v1 + m2v2 - m1v2;

(m1 + m2) v2' = 2 m1 v1  +  (m2 - m1) v2;

v2' = 2 m1 v1 / (m1 + m2)  +  (m2 - m1) v2 / (m1+ m2);

ora dalla (2) ricaviamo  v2' e sostituiamo nella (1) per trovare v1';

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v2′;    (1)

(v1′ + v1) = ( v2 + v2′);  (2)

v2' = v1′ + v1 - v2; 

m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v1′ + m2v1 - m2v2; (1)

m1v1′ + m2v1′ = m1v1 + m2v2 - m2v1 + m2v2;

v1' (m1 + m2) = (m1 - m2) v1 + 2 m2 v2;

v1' = (m1 - m2) v1 / (m1 + m2)  + 2 m2 v2 / (m1 + m2).

@osvaldo  ciao.           

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