[Risolto] Dimostrazione Formula relativistica

A prima vista sembrerebbe un quesito semplice: verificare che la derivata di una funzione data abbia un'espressione data.
Mo ci provo e poi ti dico.
Ma tu in cambio devi prenderti un po' d'impegni a non scrivere mai più:
1) "Ho problemi ha trovare ...";
2) che hai problemi senza dire quali siano;
3) che non riesci a fare qualcosa senza dire perché non ci riesci;
4) di chiarirti qualcosa senza mostrare che cosa hai fatto, anche se sbagliato.
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PROVE DI DERIVAZIONE E CONFRONTO
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Regole di derivazione
* d/dx f(x)/g(x) = (g*f' - f*g')/g^2
* d/dx √(f(x)) = f'/(2*√(f(x)))
* d/dx (1 + (x/c)^2) = 2*x/c^2
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Posizioni di comodo
* A = e*E/m
* u = A*t → du/dt = u' = A
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Derivate
* v(t) = A*t/√(1 + (A*t/c)^2) ≡ v(u) = f(u)/g(u) = u/√(1 + (u/c)^2)
* dv/du = d/du f(u)/g(u) =
= (A*√(1 + (u/c)^2) - u*(2*u/c^2)/(2*√(1 + (u/c)^2)))/(1 + (u/c)^2) =
= (A + (A - 1)*(u/c)^2)/(1 + (u/c)^2)^(3/2)
* dv/dt = (dv/du)*du/dt = A*(dv/du) =
= A*(A + (A - 1)*(u/c)^2)/(1 + (u/c)^2)^(3/2) =
= A*(A + (A - 1)*(A*t/c)^2)/(1 + (A*t/c)^2)^(3/2)
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Confronto
Resta da dimostrare o confutare l'identità fra le due derivate: l'espressione data e questa appena calcolata.
* (e*E/m)*(1 - (v/c)^2)^(3/2) = A*(A + (A - 1)*(A*t/c)^2)/(1 + (A*t/c)^2)^(3/2) ≡
≡ (1 - (v/c)^2)^(3/2) = (A + (A - 1)*(A*t/c)^2)/(1 + (A*t/c)^2)^(3/2)
Sostituendo nel primo membro si ha
* (1 - (v/c)^2)^(3/2) =
= (1 - (A*t/√(1 + (A*t/c)^2)/c)^2)^(3/2) =
= (1/(1 + (A*t/c)^2))^(3/2)
quindi
* (1 - (v/c)^2)^(3/2) = (A + (A - 1)*(A*t/c)^2)/(1 + (A*t/c)^2)^(3/2) ≡
≡ (1/(1 + (A*t/c)^2))^(3/2) = (A + (A - 1)*(A*t/c)^2)/(1 + (A*t/c)^2)^(3/2) ≡
≡ ((1/(1 + (A*t/c)^2))^(3/2))*(1 + (A*t/c)^2)^(3/2) = (A + (A - 1)*(A*t/c)^2) ≡
≡ 1 = (A + (A - 1)*(A*t/c)^2) ≡
≡ A = 1
che non ha proprio l'aria d'essere un'identità.
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POSSIBILI CONCLUSIONI
* mi sono incartato, vattelappesca dove! Scusami.
* nella foto allegata c'è un refuso.
* la tesi è confutata.

E' laborioso ma non difficile

1) d/dt [ At/sqrt ( 1 + (At/c) )^2 ] = d/dt [ At * ( 1 + A^2/c^2 t^2 ) ^(-1/2) ] =

derivando il prodotto

A [ ( 1 + A^2/c^2 t^2 )^(-1/2) + t *(-1/2)* (1 + A^2/c^2 t^2)^(-3/2) * 2A^2/c^2 t ] =

= A ( 1 + A^2/c^2 t^2)^(-3/2) * [ 1 + A^2/c^2 t^2 - A^2/c^2 t^2 ] =

= A/(1 + A^2/c^2 t^2)^(3/2)

2) dall'espressione della velocità, quadrando

v^2 = A^2 t^2/(1 + A^2 t^2/c^2 )

( 1 + A^2 t^2/c^2 ) v^2 = A^2 t^2

da cui si deduce anche

A^2 t^2 * (1 - v^2/c^2 ) = v^2

A^2 t^2 = v^2/(1 - v^2/c^2)

e infine

a(t) = A/[ 1 + (v^2/c^2)/(1 - v^2/c^2) ]^(3/2) =

= A / [ 1/(1 - v^2/c^2)]^(3/2) =

= eE/m (1 - v^2/c^2) ^(3/2)