[Risolto] Dimostrazione equazione

Per dimostrare la seguente uguaglianza chiariamo subito un concetto che risulta essere di fondamentale importanza in matematica e che riguarda le identità. Un'identità in matematica è sostanzialmente un'uguaglianza tra due formule chiuse o espressioni algebriche uguali, e che è dunque verificata per qualsiasi valore dell'incognita o delle incognite nell'insieme di esistenza delle soluzioni. Mostriamo subito qualche esempio :

$x$ $+$ $y$ $=$ $x$ $+$ $y$  $\bigl($ $per$ $ogni$ $valore$ $che$ $attribuiamo$ $alle$ $nostre$ $incognite$ $\bigr)$

$6$ $=$ $6$

$0$ $=$ $0$

Come possiamo notare, abbiamo a che fare con $identità$ $\bigl($ algebriche $\bigr)$ quando ci troviamo di fronte ad un'uguaglianza tra due membri $identici$. Inoltre dai principi di equivalenza delle equazioni sappiamo che sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa quantità ciò che otteniamo è un'equazione equivalente a quella data. Adottando questo approccio, un modo per dimostrare o verificare che un'identità risulta essere tale è verificare se il primo membro risulta essere simmetrizzabile rispetto all'addizione, avente come simmetrico il secondo il membro. Traduciamo tutto in simboli.

Sia $\bigl($ $M$, $*$, $e$ $\bigr)$ un monoide ( non necessariamente commutativo ) un elemento $a$ $\in$ $M$ risulta essere simmetrizzabile a sinistra rispetto all'operazione $*$ se e solo se esiste un elemento $a'$ $\in$ $A$ tale che $a$ $*$ $a'$ $=$ $e$ ( con $e$ elemento neutro ). Analoga situazione a destra. Inoltre è possibile dimostrare che se un elemento è simmetrizzabile sia a destra che a sinistra allora il simmetrico risulta essere unico.

Fatte queste premesse ritorniamo al nostro esercizio. Dato che ci troviamo in $R$, rispetto all'addizione vale sicuramente la proprietà commutativa e se un elemento ammette simmetrico allora esso è unico poiché non si fa distinzione tra destra e sinistra. Dunque :

$\sqrt[3]{ax^2 + by^2 + cz^2 }$ $=$ $\sqrt[3]{ a }$ $+$ $\sqrt[3]{ b }$ $+$ $\sqrt[3]{ c }$ $\iff$ $\sqrt[3]{ax^2 + by^2 + cz^2 }$ $-$ $\Bigl($ $\sqrt[3]{ a }$ $+$ $\sqrt[3]{ b }$ $+$ $\sqrt[3]{ c }$ $\Bigr)$ $=$ $0$

Per ipotesi sappiamo che $\bigl($ $ax^{3}$ $=$ $by^{3}$ $=$ $cz^{3}$ $\bigr)$ $\land$ $\Biggl($ $\displaystyle\frac{1}{x}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{y}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{z}$ $=$ $1$ $\Biggr)$  $\forall$ $x$, $y$, $z$ $\in$ $R$ \ $\{$ $0$ $\}$.

Partendo dunque da queste ipotesi cerchiamo di stabilire la verità della nostra uguaglianza. Quindi supponiamo che  

$ax^{3}$ $=$ $by^{3}$ $=$ $cz^{3}$ $=$ $k$   da cui deduciamo $\Biggl($ $a$ $=$ $\displaystyle\frac{k}{x^{3}}$ $\Biggr)$ $\land$ $\Biggl($ $b$ $=$ $\displaystyle\frac{k}{y^{3}}$ $\Biggr)$ $\land$ $\Biggl($ $c$ $=$ $\displaystyle\frac{k}{z^{3}}$ $\Biggr)$

Sostituendo i risultati ottenuti abbiamo :

$\sqrt[3]{ \displaystyle\frac{k}{x} + \displaystyle\frac{k}{y} + \displaystyle\frac{k}{z} }$ $-$ $\Biggl($ $\sqrt[3]{ \displaystyle\frac{k}{x^{3}} }$ $+$ $\sqrt[3]{ \displaystyle\frac{k}{y^{3}} }$ $+$ $\sqrt[3]{ \displaystyle\frac{k}{z^{3}} }$ $\Biggr)$ $=$ $0$

$\sqrt[3]{ k \Biggl( \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{y} + \displaystyle\frac{1}{z} \Biggr) }$ $-$ $\Biggl($ $\displaystyle\frac{1}{x}$ $\sqrt[3]{ k }$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{y}$ $\sqrt[3]{ k }$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{z}$ $\sqrt[3]{ k }$ $\Biggr)$ $=$ $0$

$\sqrt[3]{ k }$ $-$ $\Biggl($ $\sqrt[3]{ k }$ $\Biggl($ $\displaystyle\frac{1}{x}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{y}$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{z}$ $\Biggr)$ $\Biggr)$ $=$ $0$

$\sqrt[3]{ k }$ $-$ $\sqrt[3]{ k }$ $=$ $0$

Dunque abbiamo verificato attraverso una serie di passaggi algebrici che il simmetrico di $\sqrt[3]{ k }$ è proprio $-$ $\sqrt[3]{ k }$. Applicando a questo punto i principi di equivalenza delle equazioni otteniamo :

$\sqrt[3]{ k }$ $=$ $\sqrt[3]{ k }$   il che equivale a dire   $\sqrt[3]{ax^2 + by^2 + cz^2 }$ $=$ $\sqrt[3]{ a }$ $+$ $\sqrt[3]{ b }$ $+$ $\sqrt[3]{ c }$

Ciao,

Abbiamo che: 

$$a{{x}^{3}}=b{{y}^{3}}=c{{z}^{3}}=k\Rightarrow a=\frac{k}{{{x}^{3}}},b=\frac{k}{{{y}^{3}}},c=\frac{k}{{{z}^{3}}}$$

Possiamo sostituire i termini nell'equazione ed otteniamo:

$$\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}=\sqrt[3]{k}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{k}=\sqrt[3]{k}$$

Nulla da aggiungere ?