[Risolto] Dimostrazione che l'area di un triangolo qualsiasi ABC è data dalla seguente formula

Dimostrazione

Considera la figura e chiamiamo a, b, c i lati opposti agli angoli A^, B^, C^.

Se uno di questi angoli é x, e congiungiamo il centro con gli estremi del lato opposto,

si costruisce un triangolo isoscele il quale ha per base il lato opposto stesso, per lati

obliqui due raggi e angolo al vertice 2x perché angolo al centro corrispondente all'arco

sul quale insiste x come angolo alla circonferenza.

Da ciò segue che Lx/2 = rC sin 2x/2 => Lx = 2 rC sin x.

Quindi a = 2 rC sin A^, b = 2 rc sin B^ e c = 2rC sin C^

Poiché   rC = abc/(4S) ne risulta anche S = a b c/(4 rc ) =

= 2rC sin A^*2rC sin B^ * 2 rC sin C^/(4 rC) = 8/4 rC^3/rC * sin A^ sin B^ sin C^

e, in ultimo, S = 2 rC^2 sin A^ sin B^ sin C^.

Dal teorema della corda si sa che:

a = 2·r·SIN(α)

b = 2·r·SIN(β)

c = 2·r·SIN(γ)

Ma si sa pure che:

Α = 1/2·a·b·SIN(γ)

Ne consegue che:

Α = 1/2·(2·r·SIN(α))·(2·r·SIN(β))·SIN(γ)

Α = 2·r^2·SIN(α)·SIN(β)·SIN(γ)

(seguire le convenzioni per i lati e gli angoli di un triangolo qualsiasi!)