dimostrazione analisi 2

Per quanto formulato sui testi in maniera molto più rigorosa,  l'idea di fondo é che

L_AB = S_[A,B] F* dr = S_[A,B]  (Fx dx + Fy dy + Fz dz) =

= S_[A,B]  ( dV/dx dx + dV/dy dy + dV/dz dz ) = S_[A,B] dV =

= [V]_[A,B] = V(B) - V(A)

Per dimostrare che se un campo vettoriale ammette un potenziale, il lavoro può essere calcolato come la differenza del potenziale tra il punto finale e il punto iniziale, si possono seguire questi passi:

1. Definizione di campo conservativo e potenziale

Un campo vettoriale F si dice conservativo se esiste una funzione scalare $\varphi (r)\; (chiamata\; potenziale)\; tale\; che:$

F=−∇ϕ

Qui, $\nabla \varphi$ è il gradiente di $\varphi$.

2. Espressione del lavoro

Il lavoro svolto da F lungo un percorso $\mathcal{C}$ tra due punti A e B è dato da:

W= ∫​F⋅dr (integrale da calcolarsi lungo C)

3. Sostituzione di F in termini di $\varphi$

Sostituendo F=−∇ϕ nell'integrale del lavoro:

W=∫(−∇ϕ)⋅dr (integrale da calcolarsi lungo C)

4. Proprietà del gradiente e teorema fondamentale del calcolo

Utilizziamo la proprietà del gradiente, che dice che il lavoro di $-\nabla \varphi$ lungo un percorso dipende solo dai valori di $\varphi$ nei punti iniziale e finale:

∫C​(−∇ϕ)⋅dr =−[ϕ(B)−ϕ(A)] (integrale a primo membro da calcolarsi lungo C)

5. Conclusione

Poiché il lavoro dipende solo dai valori di $\varphi$ nei punti $A$ e B, possiamo scrivere:

$$W=\varphi (A)-\varphi (B)$$

Oppure, considerando il segno del potenziale come energia potenziale:

$$W=-(\varphi (B)-\varphi (A))$$

Quindi, il lavoro può essere calcolato semplicemente come la differenza del potenziale tra i due punti.

Importanza

Questa proprietà è valida solo per campi conservativi e riflette il fatto che in tali campi il lavoro è indipendente dal percorso seguito, ma dipende unicamente dai punti iniziale e finale.