Dimostrazione

Siano H e K rispettivamente i piedi delle perpendicolari a PQ e RS condotte da O.

I triangoli AHO e AOK sono rettangoli in H e K per costruzione, inoltre sono congruenti per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli, dato che hanno:

- AO in comune

- Gli angoli HAO=OAK per ipotesi.

In particolare sono congruenti le distanze OH=OK.

Ma corde equidistanti dal centro sono tra loro congruenti, dunque PQ=RS.

Guarda la figura allegata qui sopra: puoi notare che gli angoli in rosa $\delta \cong \delta '$ sono congruenti perché sono angoli opposti al vertice $B$, mentre gli angoli $\epsilon \cong \epsilon '$ sono angoli congruenti perché insistono sullo stesso arco di circonferenza $\overset{\huge\frown}{PR}$, quindi considerando i triangoli $PQB$ e $RBS$ possiamo dire che questi triangoli sono simili, tuttavia nota che gli angoli rossi $\lambda \cong \lambda '$ sono congruenti perché supplementari di angoli congruenti $\theta \cong \theta '$, quindi gli angoli in blu $\kappa \cong \kappa'$ sono congruenti perché $\alpha \cong \alpha'$ e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$, allora i triangoli $APB \cong ARB$ per il secondo criterio di congruenza$^{[1]}$ dato che $\overline{AB} \cong \overline{AB}$, dal rapporto di similitudine individuato poco prima tra i triangoli $PQB$ e $RBS$ e dalla congruenza di $\overline{RB} \cong \overline{PB}$ si deduce che $PQB \cong RBS$, da cui $\overline{PQ} \cong \overline{RS}$, allora sono congruenti anche i triangoli isosceli $ORS \cong OPQ$ per il terzo criterio di congruenza$^{[2]}$ (le altezze, in questo caso le distanze dal centro) sono anch'esse congruenti, quindi  $\overline{OC} \cong \overline{OD}$

$\textit{q.e.d.}$

[1] Secondo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, allora sono congruenti.

[2]: Terzo criterio di congruenza dei triangoli:

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati, allora sono congruenti.

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