Dimostrazione

Sia $P=\{x_0,...,x_N\}$ una suddivisione di $[a,b]$.

Se $f$ è integrabile per Darboux in $[a,b]$, vuol dire che, date le somme inferiori e superiori:

$L(f,P)=\sum_{i=1}^Nm_i(x_i-x_{i-1})$ con $m_i=inf_{[x_i-x_{i-1}]}f(x)$

e

$U(f,P)=\sum_{i=1}^NM_i(x_i-x_{i-1})$ con $M_i=sup_{[x_i-x_{i-1}]}f(x)$

si deve avere:

$\int_a^b f(x) dx = sup_P[L(f,P)] = inf_P [U(f,P)]$

Ovvero:

$L(f,P) \leq \int_a^b f(x) dx \leq U(f,P)$, $\forall P$

Sia ora $\varepsilon > 0$ e consideriamo $\delta=\frac{\varepsilon}{sup_{[a,b]}f(x)}$ (il perché si vedrà tra poco). 

Scegliamo un $R$ tale che $0<b-R<\delta$.

Dato che la disuguaglianza precedente vale per qualunque suddivisione, allora possiamo considerare in particolare la seguente suddivisione:

$P_\delta=\{x_0,...,x_{N-1},x_N\}=\{a,...,R,b\}$.

Per tale suddivisione abbiamo:

$L(f,P_\delta) \leq \int_a^b f(x) dx \leq U(f,P_\delta)$

e cioè:

$\sum_{i=1}^{N-1}(x_i-x_{i-1})m_i+(b-R)m_\delta\leq\int_a^b f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{N-1}(x_i-x_{i-1})M_i+(b-R)M_\delta$

D'altra parte, se consideriamo l'integrale di Darboux $f$ sull'intervallo $[a,R]$, scegliendo come suddivisione $P'_\delta=\{x_0,...,x_{N-1}\}=\{a,...,R\}$

possiamo scrivere che:

$\sum_{i=1}^{N-1}(x_i-x_{i-1})m_i\leq\int_a^R f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{N-1}(x_i-x_{i-1})M_i$

Sottraendo membro a membro le due disuguaglianze otteniamo:

$(b-R)m_\delta\leq\int_a^b f(x)dx - \int_a^R f(x)dx \leq (b-R)M_\delta$

D'altra parte $0<b-R<\delta$ dunque possiamo maggiorare e minorare nel modo seguente:

$0<\int_a^b f(x)dx - \int_a^R f(x)dx \leq \delta M_\delta$

D'altra parte $M_\delta= sup_{[R,b]} f(x) \leq sup_{[a,b]} f(x)$, dunque possiamo ancora scrivere:

$0<\int_a^b f(x)dx - \int_a^R f(x)dx \leq \delta sup_{[a,b]} f(x)$

e dunque considerando che abbiamo scelto $\delta=\frac{\varepsilon}{sup_{[a,b]}f(x)}$, possiamo scrivere:

$0<\int_a^b f(x)dx - \int_a^R f(x)dx \leq \varepsilon$

e questo vale $\forall \varepsilon$, e per $0<R-b<\delta$

Ma questo è equivalente a scrivere che:

$ lim_{R\rightarrow b^-} \int_a^R f(x) dx = \int_a^b f(x) dx$

e dunque l'integrale della definizione coincide con l'integrale di Darboux, pertanto esiste ed è finito.

Noemi