Dimostrazione

Sia

\[f \in C^0(\mathbb{R})\,, X \subset \mathbb{R} \mid |X| = n < +\infty\,.\]

Siano $\phi_1\,,\phi_2 \in \mathbb{R}\mid \phi_1 < \phi_2\,$. Poiché $X$ è finitamente generato:

\[[\phi_1\,,\phi_2] = \bigcup\:[\phi_1\,,\phi_2] \cap \mathcal{C}[X]\,.\]

In ogni sotto-intervallo aperto $(\alpha\,,\beta) \subset [\phi_1\,,\phi_2] \cap \mathcal{C}[X]\,$, la funzione è derivabile positivamente.

Per il teorema di Lagrange

\[f(\beta) - f(\alpha) = \frac{d}{dx}f(\psi) \cdot (\beta - \alpha)\,,\]

e poiché la derivata è positiva, ciò implica che

\[f(\beta) - f(\alpha) > 0 \iff f(\alpha) < f(\beta) \, \because \, \beta - \alpha > 0 \:\text{per Hp}\,.\]

Ciò dimostra che $f$ è strettamente crescente in ogni sotto-intervallo $(\alpha\,,\beta) \subset [\phi_1\,,\phi_2] \cap \mathcal{C}[X]$

Poiché $f$ è continua in tutto il campo algebrico, essa è condizione sufficiente per la monotonia della funzione nel complementare insiemistico di $X\,$. (di banale verifica una volta dimostrata la monotonia sui complementi.)