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Immagino che con X' viene indicato l'insieme derivato del dominio delle funzione f(x) Questo mi fa capire che i simboli che userò possono essere diversi dai tuoi; non credo sia un grande problema. Sicuramente indicherò con D l'insieme dove la funzione f(x) è definita.
La proposizione che si vuole dimostrare contempla almeno tre casi. Se indichiamo con L il limite, occorre verificare che sia valida per:
Affronterò solo il primo caso.
Proposizione. Verificate le opportune ipotesi
$ \displaystyle\lim_{x \to x_0} = L \qquad \iff \qquad \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} =L $
A) ⇒
⊳ caso limite sinistro $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} = L$
Dalla definizione di limite $\displaystyle\lim_{x \to x_0} = L$ si ha
$ \forall ε \gt 0 \quad \exists δ \gt 0 \;| \; \forall x \in (x_0 - δ, x_0 + δ) \cap D \setminus \{x_0\} \qquad |f(x)-L| \lt ε $
Poiché $ (x_0 - δ, x_0) ⊆ (x_0 - δ, x_0 + δ)$ allora possiamo affermare che
$ \forall ε \gt 0 \quad \exists δ \gt 0 \;| \; \forall x \in (x_0 - δ,x_0) \cap D \setminus \{x_0\} \qquad |f(x)-L| \lt ε $
e così applicando la definizione di limite sinistro concludere.
⊳ caso limite destro $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} = L$
E' analoga alla precedente.
B) ⇐
Se sia il limite destro che il limite sinistro valgono L allora ...
dalle definizioni di limiti sinistro e destro
Non è detto che i due valori di δ trovato coincidano. Scegliamo il minore
$ δ = min \{δ_-, δ_+\} $
Avremo che per tale δ valgono entrambe. Possiamo così scrivere che
$ \forall ε \gt 0 \quad \exists δ \gt 0 \;| \; \forall x \in (x_0 - δ, x_0 + δ) \cap D \setminus \{x_0\} \qquad |f(x)-L| \lt ε $
che è proprio la definizione di
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} = L$
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