[Risolto] Dimostrare che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi è multiplo di 6.

(n - 1)  * n * (n + 1)  = n * (n +1) * (n - 1) = n * (n^2 - 1);

n * (n^2 - 1) = n^3 - n; 

2^3 - 2 = 8 - 2 = 6;

3^3 - 3 = 27 - 3 = 24 = 4 * 6;

4^3 - 4 = 64 - 4 = 60 = 10 * 6;

Il cubo di un numero meno il numero stesso dà un multiplo di 6.

Andando di tre in tre, uno dei tre numeri è sempre multiplo di 3.

Uno dei tre numeri è sempre pari, quindi divisibile per 2.

Moltiplicando i tre numeri avremo sempre un fattore 2 e un fattore 3 fra i divisori.

Quindi 3 * 2 = 6; il prodotto srà sempre divisibile per 6.

Es.:

7 * 8 * 9 = 7 * (4 * 2) * (3 * 3) = (7 * 4 * 3) * 6 = 84 * 6 = 504.

1 * 2 * 3 = 6;

10 * 11 * 12 = (5 * 11 * 4) * (2 * 3) = 220 * 6 = 1320.

n(n+1)(n+2)

almeno uno di questi fattori é pari :

se n é pari non c'é niente da dimostrare

se n é dispari, n+1 é pari

uno di quei fattori é divisibile per 3

se lo é n non c'é niente da dimostrare

se il resto di n:3 é 2, allora lo é n+1

se il resto di n:3 é 1, allora lo é n+2

Così n(n+1) (n+2) = 2p * 3q = 6 pq con p, q interi => e abbiamo finito

Fra tre naturali consecutivi c'è un multiplo di tre e almeno un pari.
(n - 1)*n*(n + 1) = n^3 - n = 6*k
La differenza fra un cubo e la sua base è multipla di sei.