[Risolto] Dimostra

Problema:

Dimostra che l'equazione $\ln x = e^{-x}$ ha almeno una soluzione nell'intervallo (1,2).

Soluzione:

f(x)= ln(x)

g(x)= $e^{-x}$

Per ottenere almeno una soluzione nell'intervallo aperto (1,2) è necessario dimostrare che le due funzioni presenti nell'equazione siano continue in esso e passino entrambe per un ipotetico asse comune parallelo all'asse delle ascisse.

Continuità in (1,2):

Dato che f(x) è definita per x>0 e g(x) per tutto $\mathbb{R}$, esse risultano entrambe continue nell'intervallo preso in considerazione.

Passaggio per un asse comune parallelo all'asse x: 

Si calcolano i limiti agli estremi dell'intervallo per entrambe le funzioni

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= 0^+$

$\lim_{ x \rightarrow 2^-} f(x)= ln2$

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} g(x)= e^{-1}$

$\lim_{ x \rightarrow 2^-} g(x)= e^{-2}$

Poiché è rispettata la continuità per entrambe le funzioni e che $0^+<e^{-2}<e^{-1}<ln2$ è possibile notare che la funzione f(x) intersecherà almeno una volta la funzione g(x) in almeno un punto sull'asse γ parallelo all'asse delle ascisse tale che $e^{-2}<γ<e^{-1}$ dacché presenta un'immagine in un intervallo più ampio comprendente il secondo.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

e^(-x) - ln x = 0     cerchiamo le soluzioni in x > 0

la funzione a sinistra é continua in quanto composta da funzioni elementari in tale intervallo

e a maggior ragione in [1,2]

f(1) = e^(-1) - ln 1 = 1/e > 0

f(2) = e^(-2) - ln 2 = 1/e^2 - ln 2 ~ 0.135 - 0.693 < 0

Sono così verificate le ipotesi del TEOREMA DEGLI ZERI

e questo dimostra l'esistenza di almeno una soluzione.

Riscontro grafico

https://www.desmos.com/calculator/dofks5bhlv