Se i punti di intersezione delle bisettrici degli angoli interni di un quadrilatero sono i vertici di un rettangolo, il quadrilatero è un parallelogramma? Dimostralo
perfavore aiutatatemi è urgente
Se i punti di intersezione delle bisettrici degli angoli interni di un quadrilatero sono i vertici di un rettangolo, il quadrilatero è un parallelogramma? Dimostralo
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Ciao e benvenuto. Devi fare un disegno come quello allegato.
Se le bisettrici del quadrilatero ABCD formano un rettangolo EFGH, tale rettangolo ha lati fra loro paralleli e perpendicolari. Ciò permette di individuare 2 triangoli rettangoli simili:
DEA e LFM (vedi figura). Essi hanno infatti un angolo acuto uguale e pari a α/2: infatti ci ritroviamo ad avere
due rette EH ed FG che sono parallele fra loro per ipotesi e quindi individuano, tagliate dalla trasversale AB, due angoli corrispondenti e pari ad α/2. Quindi anche l'altro angolo acuto deve essere uguale nei due triangoli rettangoli perché complementare ad α/2 e di conseguenza pari a δ/2.
I lati AB e CD del quadrilatero sono quindi paralleli perché tagliati dalla trasversale DM formano 2 angoli alterni interni uguali.
Lo stesso ragionamento ora può farsi per i triangoli rettangoli OHN e BCG che sono anch'essi simili tra loro con gli stessi angoli acuti. Quindi anche gli altri due lati del quadrilatero ABCD sono paralleli fra loro. Ne consegue che ABCD è parallelogramma.
dice @LucianoP:
Se le bisettrici del quadrilatero ABCD formano un rettangolo EFGH, tale rettangolo ha lati fra loro paralleli e perpendicolari.
... allora sono corrispondenti gli angoli indicati in figura.
Per la tesi occorre e basta che DC sia parallelo ad AB e AD sia parallelo a BC ...
quindi basta osservare che i rossi sono alterni interni come i blu.
... ciò nulla toglie al percorso di LucianoP