163. Determina le dilatazioni orizzontali e le dilatazioni verticali, aventi centro nell'origine, che trasformano la parabola di equazione $y=x^{2}$ nella parabola di equazione $y=\frac{x^{2}}{4}$.
$$
\left[\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=2 x \\
y^{\prime}=y
\end{array} ;\left\{\begin{array}{c}
x^{\prime}=-2 x \\
y^{\prime}=y
\end{array},\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \\
y^{\prime}=\frac{1}{4} y
\end{array}\right]\right.\right.\right.
$$
es 163 graziee
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Livello 0
Come si risolve ? ...
Prendiamo la generica omotetia
{ x' = h x
{ y' = k y
da qui deduciamo x = x'/h e y = y'/k
sostituendo in y = x^2
y'/k = (x'/h)^2
ed eliminando gli apici la trasformata risulta
y = k/h^2 * x^2 = 1/4 x^2
da cui genericamente k/h^2 = 1/4.
Ora se l'omotetia é una dilatazione orizzontale significa che agisce solo su x
per cui k = 1 => 1/h^2 = 1/4 => h^2 = 4 => h = -2 V h = 2
Abbiamo quindi
{ x' = -2x
{ y' = y
oppure
{ x' = 2x
{ y' = y
Per una dilatazione verticale invece deve essere h = 1 per lasciare inalterate le x
k/1^2 = 1/4 => k = 1/4
e si ottiene
{ x' = x
{ y' = 1/4 y
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Livello 7
