Scrivi le equazioni della dilatazione, avente centro in $C(1,-1)$, che trasforma il punto $P(0,1)$ nel punto $P^{\prime}(2,0)$.
$$
\left[\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-x+2 \\
y^{\prime}=\frac{1}{2} y-\frac{1}{2}
\end{array}\right]\right.
$$
Numero 142
176
punti
Livello 1
Le equazioni generali di dilatazione sono
\[x' = \alpha (x - h) + h \:\Bigg|_{\substack{h = 1}} = \alpha (x - 1) + 1\]
\[y' = \alpha (y - k) + k \:\Bigg|_{\substack{k = -1}} = \alpha (y + 1) - 1\,.\]
Imponendo il passaggio per i punti dati:
\[2 = \alpha (0 - 1) + 1 \implies \alpha = -1\]
\[0 = \alpha (1 + 1) - 1 \implies \alpha = \frac{1}{2}\,;\]
quindi
\[x' = -x + 2\]
\[y' = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}\,.\]
3531
punti
Livello 5
Il modo più semplice concettualmente é imporre
x' = ax + b
y' = cy + d
con
T(0,1) = (2,0)
T(1,-1) = (1,-1)
2 = 0 + b
0 = c + d
1 = a + b
-1 = -c + d
risolvendo
b = 2 e d = -c
a = 1 - b = -1
- c - c = -1
2c = 1
c = 1/2 => d = -1/2
Concludiamo che le equazioni richieste sono
x' = -x + 2
y' = 1/2 y - 1/2
45525
punti
Livello 7
Le dilatazioni sono omotetie: in una dilatazione deve valere, fra i segmenti orientati dal centro ai due punti, la relazione definitoria
* CP' = k*CP
mentre in questo caso il triangolo CPP' ha area 3/2 anziché zero come dovrebb'essere se valesse quella proporzionalità.
Quindi si può concludere che «... la dilatazione, avente centro in C(1, - 1), che trasforma il punto P(0, 1) nel punto P'(2, 0)» non può esistere.
57171
punti
Genius I
