Potete risolvere l'esercizio seguendo questo iter:
Detti mg molteplicità geometrica autovalori, ma quella aritmetica, sapendo che A diagonalizzabile se è solo se somma mg autovalori = n = 3 = ordine matrice e sapendo che vale 1<=mg<=ma<=3, potete risolvere l'esercizio evidenziando le dimensioni degli autospazi e sapendo che dim= mg ?
Quali e Bvv? sono le dim autospazi?
13
punti
Livello 0
Sono dati due autovalori distinti
λ₁=1 con dimV₁=1.
λ₂=3
Si possono verificare tre casi.
1. Il terzo autovalore è diverso da 1 e da 3. In questo caso si hanno 3 autovalori distinti quindi A è diagonalizzabile.
2. Il terzo autovalore vale 1. In questo caso ma=2 mentre mg=1 visto che dimV₁=1.
Ne risulta che A non è diagonalizzabile.
3. Il terzo autovalore vale 3. Anche in questo caso ma = 2.
Per essere diagonalizzabile si deve dimostrare che mg = 2.
Osserviamo che la dimensione del Ker(A) = 0 visto che gli autovalori sono diversi dallo zero. Abbiamo così
dimV = dim V₁+ dim V₃
3 = 1 + dim V₃
dim V₃ = 2
quindi gli autovettori sono linearmente indipendenti cioè mg=2.
1119
punti
Livello 2
