[Risolto] Devo trovare il valore del parametro k affinchè la retta di equazione x=k incontra la circonferenza x2+y2+4x−6y−7=0 in due punti tali che AB=4.

se x = k allora

k^2 + y^2 + 4k - 6y - 7 = 0

può essere riordinata in

y^2 - 6y + k^2 + 4k - 7 = 0

per la quale Delta = 4 (9 - k^2 - 4k + 7) = 4 (-k^2 - 4k + 16 )

Se si vuole che risulti AB = 4

essendo xA = xB = k

dovrà risultare |yB - yA| = 4

ovvero (yB - yA)^2 = Delta/|A| = 16

- k^2 - 4k + 16 = 16/4 = 4

k^2 + 4k - 12 = 0

k^2 + 6k - 2k - 12 = 0

k(k + 6) - 2(k + 6) = 0

(k + 6) (k - 2) = 0

k = -6 V k = 2

https://www.desmos.com/calculator/j9uzesmryz

Dal fascio improprio
* r(k) ≡ x = k
delle parallele all'asse y si devono scegliere quelle che staccano una corda lunga |AB| = 4 sulla circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 + 4*x - 6*y - 7 = 0 ≡ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 20 = (2*√5)^2
di centro C(- 2, 3) e raggio r = 2*√5.
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Nel fascio proprio di centro C(- 2, 3)
* s(m) ≡ y = 3 + m*(x + 2)
sono quelle con pendenze m = ± tg(arcsin(2/(2*√5))) = ± 1/2 cioè
* s(± 1/2) ≡ y = 3 ± (x + 2)/2
a intersecare Γ nelle ascisse delle rette richieste.
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Ad esempio
* s(1/2) & Γ ≡ (y = 3 + (x + 2)/2) & ((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 20) ≡
≡ A'(- 6, 1) oppure B(2, 5)
da cui, per simmetria quadrantale,
* A(2, 1) oppure B'(- 6, 5)
che individuano le rette richieste
* r(K1) ≡ x = - 6
* r(K2) ≡ x = + 2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-3%29%5E2%3D20-%28x--2%29%5E2%2C%28x--6%29*%28x-2%29%3D0%2C%28x-2*y--8%29*%28x--2*y-4%29%3D0%5D