Per la produzione di due beni in quantità che indichiamo con x e y, un'impresa sostiene un costo mensile espresso in euro dalla funzione:
$$
C(x ; y)=x^{2}+x y+2 y^{2}-210 x-140 y+40000
$$
Determina la combinazione produttiva dei due beni che minimizza il costo di produzione.
[100 ; 10]
17
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Livello 0
La funzione in 2 variabili:
C = x^2 + x·y + 2·y^2 - 210·x - 140·y + 40000
è libera da vincoli. Per determinare il minimo ho diverse alternative. Quella analitica consiste nell'imporre
le C.N.:
{C'x=0
{C'y=0
quindi risolvendo il sistema:
{2·x + y - 210 = 0
{x + 4·y - 140 = 0
che porta all'unica soluzione (punto critico): [x = 100 ∧ y = 10]
a cui corrisponde un costo pari a:
C = 100^2 + 100·10 + 2·10^2 - 210·100 - 140·10 + 40000
C = 28800 €
Per sapere se è effettivamente un minimo (e lo è) dobbiamo considerare le C.S. espresse dall'Hessiano in corrispondenza del punto critico trovato:
H(100,10)=in questo caso=H(x,y)
essendo H=
| C''xx.........C''xy|
|C''yx..........C''yy|
quindi:
|2........1|
|1........4|
Quindi: H=7>0 e C''xx=2>0
fornisce una condizione sufficiente per dire che il punto critico trovato sia effettivamente un minimo.
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Genius II
buonanotte
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Livello 2
Da
* z = C(x, y) = x^2 + x*y + 2*y^2 - 210*x - 140*y + 40000
si calcola il gradiente
* nabla[C] = {∂z/∂x, ∂z/∂y} = {2*x + y - 210, x + 4*(y - 35)}
e si cercano gli eventuali punti in cui s'annulla
* (2*x + y - 210 = 0) & (x + 4*(y - 35) = 0) ≡ (x = 100) & (y = 10)
trovando l'unico punto critico di C.
La valutazione
* z = C(100, 10) = 100^2 + 100*10 + 2*10^2 - 210*100 - 140*10 + 40000 = 28800
dà il valore minimo.
NB: il punto V(100, 10, 28800) è il vertice del paraboloide ellittico di equazione z = C(x, y).
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Genius I
