Scrivi l'equazione dell'ellisse tangente nel punto $A(2 ;-1)$ alla retta di equazione $y=x-3$.
$$
\left[\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\right]
$$
Scrivi l'equazione dell'ellisse tangente nel punto $A(2 ;-1)$ alla retta di equazione $y=x-3$.
$$
\left[\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\right]
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Se tu non conoscessi le formule di sdoppiamento procedi con il metodo classico seguente.
x^2/α + y^2/β = 1 con α = a^2 ; β = b^2
Riduci le due incognite di sopra imponendo il passaggio per [2, -1]
2^2/α + (-1)^2/β = 1----> 4/α + 1/β = 1
quindi: β = α/(α - 4)
Equazione si riduce a: x^2/α + y^2/(α/(α - 4)) = 1
che metti a sistema con la retta data:
{x^2/α + y^2·(α - 4)/α = 1
{y = x - 3
Quindi procedi per sostituzione:
x^2/α + (x - 3)^2·(α - 4)/α - 1 = 0
Arrivi quindi a scrivere:
(x^2·(α - 3) + 6·x·(4 - α) + 4·(2·α - 9))/α = 0
per cui deve essere:
x^2·(α - 3) + 6·x·(4 - α) + 4·(2·α - 9) = 0
condizione di tangenza: Δ/4 = 0
(3·(4 - α))^2 - (α - 3)·(4·(2·α - 9)) = 0
(9·α^2 - 72·α + 144) - (8·α^2 - 60·α + 108) = 0
α^2 - 12·α + 36 = 0-----> (α - 6)^2 = 0
quindi: α = 6
e β = 6/(6 - 4)------> β = 3
equazione ellisse: x^2/6 + y^2/3 = 1
xo x /a^2 + yo y/b^2 = 1 ( sdoppiamento )
2 x / a^2 - y / b^2 = 1
deve riprodurre
x - y = 3
6x /a^2 - 3y/b^2 = 3
6/a^2 = 1 e 3/b^2 = 1
a^2 = 6 e b^2 = 3
x^2/6 + y^2/3 = 1