Determinare rette parallele alla bisettrice che individuando sulla circonferenza uan corda

{x^2 + y^2 - 6·x = 0

{y = -x + k

per sostituzione:

x^2 + (-x + k)^2 - 6·x = 0

x^2 + (x^2 - 2·k·x + k^2) - 6·x = 0

2·x^2 - x·(2·k + 6) + k^2 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = - (√(- k^2 + 6·k + 9) - k - 3)/2 ∨ x = (√(- k^2 + 6·k + 9) + k + 3)/2

Quindi due punti:

x = (√(- k^2 + 6·k + 9) + k + 3)/2 ∧ y = - (√(- k^2 + 6·k + 9) - k + 3)/2

x = - (√(- k^2 + 6·k + 9) - k - 3)/2 ∧ y = (√(- k^2 + 6·k + 9) + k - 3)/2

Fra questi due punti calcolo:

Δx = (√(- k^2 + 6·k + 9) + k + 3)/2 + (√(- k^2 + 6·k + 9) - k - 3)/2

Δx = √(- k^2 + 6·k + 9)

Δy = (√(- k^2 + 6·k + 9) + k - 3)/2 + (√(- k^2 + 6·k + 9) - k + 3)/2

Δy = √(- k^2 + 6·k + 9)

per cui deve essere:

√(Δx^2 + Δy^2) = 2

√(√(- k^2 + 6·k + 9)^2 + √(- k^2 + 6·k + 9)^2) = 2

√(- 2·(k^2 - 6·k - 9)) = 2

(√(- 2·(k^2 - 6·k - 9)) = 2)^2

- 2·(k^2 - 6·k - 9) - 4 = 0

k^2 - 6·k - 7 = 0

(k + 1)·(k - 7) = 0

quindi: k = 7 ∨ k = -1

rette:

y = -x + 7

y = -x - 1

Propongo svolgimento alternativo a quello esposto dal collega 😃

Il fascio improprio delle parallele alla bisettrice dei quadranti pari (m = - 1) ha per parametro l'intercetta q
* p(q) ≡ y = q - x
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La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 6*x = 0 ≡ (x - 3)^2 + y^2 = 3^2
ha raggio r = 3 e centro C(3, 0) per il quale passa la
* p(3) ≡ y = 3 - x
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Nella circonferenza di raggio r la corda lunga c, con 0 < c < 2*r, dista dal centro d = √(4*r^2 - c^2)/2.
Per r = 3 e c = 2 si ha
* d = √(4*3^2 - 2^2)/2 = 2*√2
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La distanza fra p(a) e p(b) è
* d = |a - b|/√2 ≡ |a - b| = Δq = d*√2
che, per d = 2*√2, dà Δq = 4; quindi le rette richieste sono
* p(3 ± 4) ≡ y = (3 ± 4) - x
Il risultato atteso
* "x＋y＋1＝0; x＋y - 7＝0" ≡ y = - 1 - x; y = 7 - x
è proprio quello.