[Risolto] Determinare le derivate Delle seguenti funzioni Nei punti ×0 Specificati

Bisogna innanzitutto determinare le derivate delle seguenti funzioni e poi sostituire il punto $x_0$ in $y'$.

• $y = 4 x^{10} $ in $x_0=-1$

La derivata di y è la seguente:

$y' = 4 \cdot (10 \cdot x^{10-1}) = 40x^9$

Questo proviene dalla formula generale:

$$y=x^{\alpha}$$

$$y'=\alpha x^{\alpha -1}$$

Sostituiamo il punto $x_0$ nella derivata:

$40(-1)^9 =-40$

• $y = \sqrt[3]{x^4}$ in $x_0=2$

Per facilitare i calcoli possiamo esprimere la radice sotto forma di frazione, ricordando la seguente definizione:

$$\sqrt[\alpha]{x^{\beta}}=x^{\frac{\beta}{\alpha} }$$

Quindi possiamo riscrivere y:

$y=x^{\frac{4}{3} }$

Ora possiamo calcolare la derivata, usando la formula risolutiva precedente:

$$y=x^{\alpha}$$

$$y'=\alpha x^{\alpha -1}$$

Allora si ha

$y' = {\frac{4}{3} }x^{{\frac{4}{3} }-1} = {\frac{4}{3} }x^{{\frac{1}{3} }}$

Sostituiamo il punto $x_0$ nella derivata:

$ {\frac{4}{3} }2^{{\frac{1}{3} }}$

• $y=\frac{3}{4}x^2$ in $x_0=-3$ 

Utilizzando la stessa formula risolutiva, si ha la seguente derivata:

$y' = \frac{3}{4} \cdot 2 x^{2-1} = \frac{3}{2}x $

Sostituiamo il punto $x_0$ nella derivata:

$\frac{3}{2}(-3)= -\frac{9}{2}x $

• $y = \frac{2}{3}x^6 $ in $x_0 =-2$ 

Utilizzando la stessa formula risolutiva, si ha la seguente derivata:

$y' = \frac{2}{3} \cdot 6 x^{6-1}= 4x^5 $

Sostituiamo il punto $x_0$ nella derivata:

$4 (-2)^5 = 4(-32)=-128$

Ciao!

1) $y = 4 x^{10} $

$y' = 4 \cdot 10 \cdot x^{10-1} = 40 x^9 $

in $x_0 = -1$ si ha $ 40(-1)^9 = 40(-1)= -40 $

2) $y = \sqrt[3]{x^4} = x^\frac43 $

$y' = \frac43 x^{\frac43-1} = \frac43 x^{\frac13} = \frac43 \sqrt[3]{x} $

in $x_0 = 2 $ si ha $ \frac43 \sqrt[3]{2}$

3) $y = \frac34 x^2 $

$y' = \frac34 \cdot 2 x^{2-1} = \frac32 x $

in $x_0 = -3$ si ha $\frac32 \cdot (-3) = -\frac92$

4) $y = \frac23 x^6 $

$y' = \frac23 \cdot 6 x^{6-1}= 4 x^5 $

in $x_0 = -2$ si ha $ 4 (-2)^5 = 4 ( -32) = -128 $

Eccolo..

 Buona serata?

1) la derivata di 4*x^10 rispetto a x è semplicemente 4*10*x^9 (derivata di x^n è uguale a n*x^(n-1)). Calcolata in x0=-1 essa risulta pari a 40*(-1)^9=-40

2) non riesco a leggere bene gli esponenti, potresti postare una foto più definita?

3) la derivata di (3/4)*x^2=(3/4)*2*x =3x/2. Calcolata in x0=-3 fa 3*(-3)/2=-9/2

4) sempre la stessa formula: (2/3)*6*x^5. Calcolata in x0=-2 è pari a 4*(-2)^5=4*(-32)=-128