[Risolto] determinare l'area della regione finita di piano compresa fra la curva

y = √(x/(4 - x))

C.E.

x/(4 - x) ≥ 0------> 0 ≤ x < 4

In tale campo la f(x) risulta non negativa e si annulla per x=0. all'estremo x=4 risulta:

LIM(√(x/(4 - x))) = +∞

x---> 4-

Quindi x=4 è asintoto verticale per la f(x)

Le derivate sono:

y'=2·√(x/(4 - x))/(x·(4 - x))

per cui si ha:

y'>0 : 0 < x < 4 quindi sempre crescente. Mentre la derivata seconda:

y'' = 4·(x - 1)·√(x/(4 - x))/(x^2·(x - 4)^2)

si annulla per x = 1 ove si è in presenza di un punto di flesso. Tale punto ha ordinata:

y = √(1/(4 - 1)) = √3/3

Quindi F: [1, √3/3]

f'(1)= m=2·√(1/(4 - 1))/(1·(4 - 1)) = 2·√3/9

Quindi retta tangente: 

y - √3/3 = 2·√3/9·(x - 1)----> y = 2·√3·x/9 + √3/9

Per il calcolo dell'area richiesta ti do i risultati:

∫(2·√3·x/9 + √3/9)dx= 2·√3/9

valutato da x=0 ad x=1

∫(√(x/(4 - x))dx = 2·pi/3 - √3

valutato da x=0 ad x=1

A= 2·√3/9 - (2·pi/3 - √3) = 11·√3/9 - 2·pi/3

Il grafico della funzione è il seguente

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{4-x}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \cdot \frac{4 - x}{x}\left(\frac{x}{2(4-x)^2} + \frac{1}{2(4 - x)}\right) \implies\]

\[\frac{d^2}{dx^2} \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \cdot \frac{4 - x}{x}\left(\frac{x}{2(4-x)^2} + \frac{1}{2(4 - x)}\right) =\]

\[=\sqrt{\frac{x}{4 - x}} \cdot \frac{4 - x}{x}\left(\frac{x}{2(4-x)^3} + \frac{1}{2(4 - x)^2}\right) - \sqrt{\frac{x}{4 - x}} \cdot \frac{x}{2(4-x)^2} +\]

\[+ \frac{(4-x)^2}{x^2}\left(\frac{x}{2(4 - x)^2} + \frac{1}{2(4-x)}\right)^2 - \frac{4-x}{x}\left(\frac{x}{2(4-x)^2} + \frac{1}{2(4-x)}\right)\,.\]

Tale che il punto di flesso si ha

\[\frac{d^2 y}{dx^2} = 0 \iff x = 1 \quad \text{risolvendo per x}\,.\]

Per trovare la retta tangente in tale punto di flesso:

\[\frac{dy}{dx}\Bigg|_{\substack{x = 1}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = m\]

\[y - y_1 = m(x - x_1)\Bigg|_{\substack{x = 1}}^{y = y(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}} \implies\]

\[y - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}(x - 1) \iff y = \frac{2}{3\sqrt{3}}x + \frac{1}{3\sqrt{3}}\,.\]

Per calcolare l'area tra la curva, la retta tangente e l'asse $y$, si calcola il valore assoluto del seguente integrale:

\[\left| \int_{0}^{1}\left(\sqrt{\frac{x}{4-x}} - \left(\frac{2}{3\sqrt{3}}x + \frac{1}{3\sqrt{3}}\right)\right) \, dx \right| \approx 0,0226\,.\]

Nota: L'integrale l'ho risolto computazionalmente, di conseguenza è in forma decimale, e coincide con il risultato del libro