[Risolto] Determinare la misura della corda AB, individuata sulla parabola rappresentata dalla retta

Interpretiamo i due grafici: parabola ad asse verticale e retta: dobbiamo fare riferimento a quanto si legge dal grafico.

Parabola

Passa da (1,0) e (3,0) con asse x=2 punto medio

Scriviamo: y = a·(x - 1)·(x - 3)

passa per (0,-3):

-3 = a·(0 - 1)·(0 - 3)---> -3 = 3·a---> a = -1

quindi: y = (-1)·(x - 1)·(x - 3)

y = (1 - x)·(x - 3)----> y = - x^2 + 4·x - 3

Retta

[0, -2]

[3, 0]

passa per tali punti:

(y + 2)/(x - 0) = (0 + 2)/(3 - 0)---> (y + 2)/x = 2/3

y = 2·x/3 - 2

Ti basta ora determinare A

{y = - x^2 + 4·x - 3

{y = 2·x/3 - 2

per sostituzione:

2·x/3 - 2 = - x^2 + 4·x - 3

x^2 - 10·x/3 + 1 = 0----> 3·x^2 - 10·x + 3 = 0

risolvo ed ottengo:

x = 1/3 ∨ x = 3

y = 2·(1/3)/3 - 2-----> y = - 16/9

Quindi:

A[1/3, - 16/9]

B[3, 0]

ΑΒ = √((3 - 1/3)^2 + (0 + 16/9)^2)

ΑΒ = 8·√13/9

Uso un metodo abbreviato, altrimenti la mole di calcoli ci uccide.

Equazione della parabola

y - yV = a(x - xV)^2

y - 1 = a(x - 2)^2

Passa per B

0 - 1 = a (3 - 2)^2

a = -1

y - 1 = -(x^2 - 4x + 4)

y = - x^2 + 4x - 3

Equazione della retta

x/3 + y/(-2) = 1 in forma segmentaria

y/(-2) = 1 - x/3

y = 2/3 x - 2

Risolvente del sistema

- x^2 + 4x - 3 = 2/3 x - 2

x^2 - 4x + 2/3 x + 3 - 2 = 0

x^2 - 10/3 x + 1 = 0

3x^2 - 10x + 3 = 0

D = 100 - 4*9 = 64

Lunghezza della corda

AB = rad(D)/|A|*rad(1 + m^2) = rad(64)/3 * rad(1 + 4/9) =

= 8/3 * rad(13)/3 = 8/9 rad(13)

La forma normale segmentaria della retta r si scrive in base alle intersezioni con gli assi
* r ≡ x/3 + y/(- 2) = 1
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La forma esplicita in y della parabola con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(2, 1) è
* Γ ≡ y = 1 + a*(x - 2)^2
e l'apertura si ricava dal vincolo d'appartenenza di B(3, 0)
* 0 = 1 + a*(3 - 2)^2 ≡ a = - 1
quindi
* Γ ≡ y = 1 - (x - 2)^2
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La richiesta misura della corda AB è la distanza fra le intersezioni
* r & Γ ≡ (x/3 + y/(- 2) = 1) & (y = 1 - (x - 2)^2) ≡
≡ A(1/3, - 16/9) oppure B(3, 0)
quindi
* |AB| = (8/9)*√13 ~= 3.2
che è proprio il risultato atteso.