[Risolto] Determinare aree di due parti di una parabola che dividono un cerchio

La circonferenza di raggio R = 1
* Γc ≡ x^2 + y^2 = 1
e la parabola di apertura a = √2
* Γp ≡ y = (√2)*x^2 ≡ x^2 = y/√2
s'intersecano nelle soluzioni del sistema
* (x^2 + y^2 = 1) & (x^2 = y/√2) ≡
≡ (y/√2 + y^2 - 1 = 0) & (x^2 = y/√2) ≡
≡ ((y = - √2) oppure (y = 1/√2)) & (x^2 = y/√2) ≡
≡ A(- 1/√2, 1/√2) oppure B(1/√2, 1/√2)
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La corda AB, lunga √2, individua
1) il segmento parabolico di area
* Sp = |a|*(xB - xA)^3/6 = |√2|*(√2)^3/6 = 2/3
2) il segmento circolare per la cui area Sc serve qualche calcolo preliminare
* Sc = (R^2)*arccos(1 - h/R) - (R - h)*√(R^2 - (R - h)^2) =
= arccos(1 - h) - (1 - h)*√(1 - (1 - h)^2)
dove
* h = R - d = 1 - d è la freccia del segmento
* d = yA = yB = 1/√2 è la distanza della corda AB dal centro
da cui
* h = 1 - 1/√2
* Sc = arccos(1 - (1 - 1/√2)) - (1 - (1 - 1/√2))*√(1 - (1 - (1 - 1/√2))^2) =
= arccos(1/√2) - (1/√2)*√(1 - (1/√2)^2) =
= π/4 - 1/2
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L'area S1 nella concavità di Γp è
* S1 = Sp + Sc = 2/3 + π/4 - 1/2 = 1/6 + π/4
L'area S2 esterna alla concavità di Γp è la differenza fra quella del cerchio ed S1
* S2 = π*R^2 - S1 = π - (1/6 + π/4) = 3*π/4 - 1/6
che è proprio il risultato atteso.