[Risolto] Determina per quali valori di k…

A) La forma normale standard dell'equazione che rappresenta una conica a centro Γ, non degenere, riferita al centro e agli assi, è
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove
* i semiassi (a, b) sono valori positivi (rappresentano lunghezze);
* la semidistanza focale è c = √(a^2 + b^2) per l'iperbole e √(max^2 - min^2) per l'ellisse;
* a < b indica fuochi sull'asse y per l'ellisse reale;
* a = b indica circolarità per l'ellisse reale e equilateralità per le iperboli;
* a > b indica fuochi sull'asse x per l'ellisse reale;
* la configurazione dei doppi segni (±, ±) tipizza Γ, come segue
A0) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole con fuochi sull'asse y
A1) (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1: iperbole con fuochi sull'asse x
A2) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse immaginaria
A3) (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1: ellisse reale
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B) Nella forma parametrica proposta
* Γ(k) ≡ x^2/(k^2 - 3*k) - y^2/(k^2 - 9) = 1
sono i segni dei denominatori, entrambi non nulli
* (k^2 - 3*k != 0) & (k^2 - 9 != 0) ≡ k non in {- 3, 0, 3}
affinché il fascio sia definito, a distinguere i quattro tipi
A0) (k^2 - 3*k < 0) & (k^2 - 9 < 0) & (k*(k^2 - 9) != 0) ≡ 0 < k < 3
A1) (k^2 - 3*k > 0) & (k^2 - 9 > 0) & (k*(k^2 - 9) != 0) ≡ (k < - 3) oppure (k > 3)
A2) (k^2 - 3*k < 0) & (k^2 - 9 > 0) & (k*(k^2 - 9) != 0) ≡ Ø
A3) (k^2 - 3*k > 0) & (k^2 - 9 < 0) & (k*(k^2 - 9) != 0) ≡ - 3 < k < 0
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B1) Non si può avere a = b per alcun valore di k
* (k^2 - 3*k = k^2 - 9) & (k*(k^2 - 9) != 0) ≡ Ø
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C) Distinzione di casi sul parametro k
C1) k < - 3: Γ è un'iperbole con fuochi sull'asse x
C2) k = - 3: Γ è indefinita
C3) - 3 < k < 0: Γ è un'ellisse reale
C4) k = 0: Γ è indefinita
C5) 0 < k < 3: Γ è un'iperbole con fuochi sull'asse y
C6) k = 3: Γ è indefinita
C7) k > 3: Γ è un'iperbole con fuochi sull'asse x
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Vedi C3
b) Vedi C1 C5 C7
c) Vedi B1
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d) iperbole con F(0, √10)
* iperbole: |k| > 3
* F(0, √10): c = √(a^2 + b^2) = √10 ≡ a^2 + b^2 = 10
cioè
≡ ((k^2 - 3*k) + (k^2 - 9) - 10 = 0) & (|k| > 3) ≡
≡ (k^2 - (3/2)*k - 19/2 = 0) & (|k| > 3) ≡
≡ (k = (3 ± √161)/4) & (|k| > 3) ≡
≡ k = (3 + √161)/4 ~= 3.92
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+4*%2815--%E2%88%9A161%29*x%5E2-4*%283--%E2%88%9A161%29*y%5E2-11*%E2%88%9A161-261%3D0