[Risolto] Determina l'equazione di un'iperbole che ha i fuochi sull'asse y, asse non trasverso che misura 4 e asse trasverso che misura 2

Problema:

Determina l'equazione di un'iperbole che ha i fuochi sull'asse y, asse non trasverso che misura 4 ed asse trasverso che misura 2.

Soluzione:

L'iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate ha equazione $χ: \frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=-1$, dato che l'asse trasverso è quello che passa per i fuochi, in questo caso posizionati sull'asse y, si ha che b=2 e che a=4.

Sostituendo i valori nell'equazione si ottiene: $χ: \frac{x²}{16}-\frac{y²}{4}=-1$

Correzione:

Poiché non è specificata la posizione dell'iperbole nel testo è doveroso considerare anche tutte le iperboli traslate sull'asse delle ordinate tramite l'applicazione del vettore $<0,k>$, si rimanda alla risposta di @exProf.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Ogni iperbole Γ con le proprietà descritte in narrativa ha equazione riducibile alla forma normale standard
* Γ(k) ≡ (x/2)^2 - ((y - k)/1)^2 = - 1
infatti
a) secondo membro negativo ≡ fuochi sull'asse y
b) semiasse trasverso = 1 ≡ asse trasverso = 2
c) semiasse non trasverso = 2 ≡ asse non trasverso = 4
Il parametro k del fascio è l'ordinata del centro: le iperboli sono tutte congruenti per traslazione verticale; ne puoi vedere qualcuna fra cui scegliere al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5B%28x%2F2%29%5E2-%28y-k%29%5E2%3D-1%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D
table[(x/2)^2-(y-k)^2=-1,{k,-2,2}]