determina l’area di questo triangolo

stante α ≠ 90°, la misura di a e b la si ottiene con il teorema dei seni (sen 45°/c = sen 30°/b = sen 105°/a) 

b = 12/√2= 8,4853 cm

a = 12*0,9659*2/√2 = 16,3923 cm

 ....lascia le radici ai dentisti 😉

noti a, b e c l'area A la si calcola con "Erone"

A = √p(p-a)(p-b)(p-c)

...p essendo il semi-perimetro (a+b+c)/2

p = (8,4853+16,3923 +12)/2 = 18,4388 cm 

A = √18,4388*(18,4388-12)*(18,4388-16,3923)*(18,4388-8,4853) = 49,177 cm^2

PS :

A = 18(√13 +1)= 82,900 cm^2...palesemente errata 

A = 18(√3 +1)= 49,177 cm^2 ....direi che ci siamo 

Teorema dei seni: (rapporto fra seni degli angoli e lati opposti)

sen45° / 12 = sen30° / b = sen105° / c;

sen45° / 12 = sen30° / b:

b  = sen30° * 12 / (sen45°) = 0,5 * 12 / [radice(2) /2];

b = 6 * 2 / rad(2) = 12 * rad(2) / 2 = 6 radice(2)

c = sen(105°) * b / sen(30°) = 0,966 * 6 radice(2) /0,5 = 11,6 * radice(2).

Area   con formula di Erone.

Semiperimetro p = (a + b + c)/2 = [12 + 6 radice(2)+ 11,6radice(2)] / 2 ,

A = radicequadrata[p * (p - a) * (p - b) * p - c)]

ciao @lucrezia_05

Α = 1/2·b·c·SIN(α)=1/2·a·c·SIN(β)=1/2·a·b·SIN(γ)

Inserendo i dati:

Α = 1/2·12·c·SIN(30°) = 3·c

Α = 1/2·a·c·SIN(45°)  = √2·a·c/4

Α = 1/2·a·12·SIN(105°)= a·(3·√6/2 + 3·√2/2)

Possiamo scrivere il sistema:

{a·(3·√6/2 + 3·√2/2) = √2·a·c/4

{3·c = √2·a·c/4

che risolto fornisce: a = 6·√2 ∧ c = 6·√3 + 6 (in cm)

Quindi:

Α = 3·(6·√3 + 6) = (18·√3 + 18) cm^2

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Figura (a).

Lato $b= \dfrac{c·sen(β)}{sen(γ)} = \dfrac{12·sen(30°)}{sen(45°)}=6\sqrt2~cm$;

angolo $α= 180-(β+γ) = 180-(30+45) = 180-75 = 105°$;

area $A= \dfrac{c·b·sen(α)}{2} = \dfrac{12·6\sqrt2·sen(105°)}{2} = 18+18\sqrt3~cm^2$;

oppure scritto come $(A=18(\sqrt3+1)~cm^2)$.