[Risolto] Determina la posizione della retta rispetto alla circonferenza senza ricercare i punti di intersezione

Ti rispondo quando il tuo compito già l'avrai consegnato, tanto per mostrarti le procedura (buona per il futuro).
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La distanza d del punto P(u, v) dalla retta t è
* per t ≡ x = k: d(u, v, k) = |u - k|
* per t ≡ y = k: d(u, v, k) = |v - k|
* per t ≡ y = m*x + q: d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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La retta
* t ≡ 3*x - 4*y - 6 = 0 ≡ y = (3/4)*(x - 2)
interseca entrambi gli assi, con pendenza m = 3/4 e intercetta q = - 3/2. Quindi la sua distanza da P(u, v) è
* d(u, v) = |((3/4)*u - 3/2 - v)|/√((3/4)^2 + 1) = |3*u - 4*v - 6|/5
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La circonferenza Γ data in forma normale canonica si porta, con le seguenti equivalenze, alla forma normale standard
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x + 2*y + 4 = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 + 2*y + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - 2^2 + (y + 1)^2 - 1^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 2^2 - 1^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1^2
da cui leggere le proprietà geometriche
* centro C(2, - 1)
* raggio r = 1
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La distanza di t da C risulta
* d(2, - 1) = |3*2 - 4*(- 1) - 6|/5 = 4/5 < 1
quindi t è secante Γ.

a) determino centro e raggio completando i quadrati

x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 1

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1^2

C = (2,-1) e r = 1

b) calcolo la distanza centro - retta

d = |3*2 - 4*(-1)-6|/rad(3^2 + 4^2) = 4/5

c) confronto d con r e traggo le conclusioni

d < r perché 4/5 < 1 : la retta é secante

d) verifico attraverso un grafico :

https://www.desmos.com/calculator/jmgp3bwe1n