[Risolto] Determina i parametri a, b, c, d in modo che il grafico della funzione y=ax^3+by^2+cx+d passi per l’origine degli assi cartesiani, in cui la tangente sia parallela alla retta y=x+5 e passi per il punto A (2;0), nel quale la tangente sia perpendicolar...

La funzione ha quindi tre parametri da determinare essendo del tipo:

y=ax^3+bx^2+cx

con d=0 dovendo passare per l'origine degli assi cartesiani.

Nel punto origine (0,0)  inoltre, la tangente deve essere parallela al retta: y = x + 5

Quindi la tangente in O(0,0) deve avere coefficiente angolare m=1

Essendo la derivata pari a  y '= dy/dx =3·a·x^2 + 2·b·x + c = m,

si deve avere:

3·a·x^2 + 2·b·x + c = 1 per x=0---> 3·a·0^2 + 2·b·0 + c = 1----> c = 1

Quindi si restringe l'attenzione ai soli due parametri: y = a·x^3 + b·x^2 + x

Il passaggio per A(2,0) impone che:

0 = a·2^3 + b·2^2 + 2----> 8·a + 4·b = -2----> b = - (4·a + 1)/2

Quindi la funzione diventa:

y = a·x^3 + (- (4·a + 1)/2)·x^2 + x-----> y = a·x^3 - x^2·(4·a + 1)/2 + x

che ammette quindi derivata pari a: y'= dy/dx= 3·a·x^2 - x·(4·a + 1) + 1

Ma in A il coefficiente angolare della tangente deve essere antireciproco di quello della retta

x + 2·y = 1---> y = 1/2 - x/2---> m=-1/2 dovendo essere m'=2 per x=2 si deve avere:

3·a·2^2 - 2·(4·a + 1) + 1 = 2---> 4·a - 1 = 2---> a = 3/4

Quindi:

b = - (4·(3/4) + 1)/2----> b = -2

La cubica che si ottiene è quindi: y = 3/4·x^3 - 2·x^2 + x

Ecco a te :))