f(x;y) = |x-y| * (x^2 -2x +y^2)
f(x;y) = |x-y| * (x^2 -2x +y^2)
91
punti
Livello 1
z = ABS(x - y)·(x^2 - 2·x + y^2)
Devi vedere due funzioni:
z = (x - y)·(x^2 - 2·x + y^2)
per x - y ≥ 0---> y ≤ x
z = (y - x)·(x^2 - 2·x + y^2)
per y > x
(la seconda è opposta alla prima)
{3·x^2 - 2·x·(y + 2) + y^2 + 2·y = 0
{- x^2 + 2·x·(y + 1) - 3·y^2 = 0
(condizioni necessarie : z'x=0 e z'y=0)
Ottieni 4 punti critici:
[x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1, x = √7/6 + 5/6 ∧ y = 1/6 - √7/6,
x = 5/6 - √7/6 ∧ y = √7/6 + 1/6]
Studi l'Hessiano in corrispondenza ciascuno di essi:
H(x,y)=
|z''xx...........z''xy|
|z''yx...........z''yy|
z''xx=6·x - 2·(y + 2); z''yy=2·x - 6·y; z''xy=z''yx=- 2·x + 2·y + 2
In corrispondenza del primo punto ottieni:
DET([-4, 2; 2, 0]) = -4<0 punto di sella
In corrispondenza del secondo:
DET([0, 2; 2, -4]) = -4 <0 punto di sella
per il terzo ottieni:
DET([4·√7/3 + 2/3, 2/3 - 2·√7/3; 2/3 - 2·√7/3, 4·√7/3 + 2/3]) =
=8·√7/3 + 28/3>0
punto di minimo relativo
x = 1.274291885 ∧ y = -0.2742918851 (va bene y<x)
Per il quarto:
DET([2/3 - 4·√7/3, 2·√7/3 + 2/3; 2·√7/3 + 2/3, 2/3 - 4·√7/3]) =
=28/3 - 8·√7/3
(però non va bene: x = 0.3923747814 ∧ y = 0.6076252185)
L'altra funzione è opposta. Quanto ottenuto dovrebbe essere coerente con quanto è dato con Wolframalpha: controlla.
97578
punti
Genius II
@lucianop il quarto punto è di minimo relativo come il terzo?
Il 4° punto non va bene perché y>x
@lucianop non va bene nel caso si scriva la funzione togliendo il valore assoluto, ma andrebbe bene mettendo il segno meno davanti a (x-y) e avendo dunque la conduzione opposta cioè appunto y>x , no?
la funzione può essere scritta come
+(x-y)(x^2 -2x +y^2) se x-y>0
-(x-y)(x^2 -2x +y^2) se x-y<0
o sbaglio?
Prova a rifare lo studio con la funzione opposta: ottieni i punti critici però devi sempre tenere presente la condizione y>x escludendo quelli che non appartengono a tale condizione.
Dovresti arrivare dopo alla conclusione di Wolframalpha.