Determina estremi relativi della funzione

z = ABS(x - y)·(x^2 - 2·x + y^2)

Devi vedere due funzioni:

z = (x - y)·(x^2 - 2·x + y^2) 

per x - y ≥ 0---> y ≤ x

z = (y - x)·(x^2 - 2·x + y^2)

per y > x

(la seconda è opposta alla prima)

{3·x^2 - 2·x·(y + 2) + y^2 + 2·y = 0

{- x^2 + 2·x·(y + 1) - 3·y^2 = 0

(condizioni necessarie : z'x=0 e z'y=0)

Ottieni 4 punti critici:

[x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1, x = √7/6 + 5/6 ∧ y = 1/6 - √7/6,

x = 5/6 - √7/6 ∧ y = √7/6 + 1/6]

Studi l'Hessiano in corrispondenza ciascuno di essi:

H(x,y)=

|z''xx...........z''xy|

|z''yx...........z''yy|

z''xx=6·x - 2·(y + 2); z''yy=2·x - 6·y; z''xy=z''yx=- 2·x + 2·y + 2

In corrispondenza del primo punto ottieni:

DET([-4, 2; 2, 0]) = -4<0 punto di sella

In corrispondenza del secondo:

DET([0, 2; 2, -4]) = -4 <0 punto di sella

per il terzo ottieni:

DET([4·√7/3 + 2/3, 2/3 - 2·√7/3; 2/3 - 2·√7/3, 4·√7/3 + 2/3]) =

=8·√7/3 + 28/3>0

punto di minimo relativo

x = 1.274291885 ∧ y = -0.2742918851 (va bene y<x)

Per il quarto:

DET([2/3 - 4·√7/3, 2·√7/3 + 2/3; 2·√7/3 + 2/3, 2/3 - 4·√7/3]) =

=28/3 - 8·√7/3

(però non va bene: x = 0.3923747814 ∧ y = 0.6076252185)

L'altra funzione è opposta. Quanto ottenuto dovrebbe essere coerente con quanto è dato con Wolframalpha: controlla.